حلاً لمسألة حسابية: قيمة x في مساحات المربعات (مسألة رياضيات)

مساحة أحد المربعات هي $x^2 + 6x + 9$، ومساحة المربع الآخر هي $4x^2 – 28x + 49$. إذا كان مجموع محيطي الاثنين يساوي 56، فما هي قيمة $x$؟

لنقم بحساب محيط المربع الأول، نستخدم الصيغة: محيط المربع = 4 × الطول الجانب. وبما أن جميع أضلاع المربع ذات طول متساوٍ، نحصل على:

$P_1 = 4 \times (\sqrt{x^2 + 6x + 9})$

وبنفس الطريقة، نحسب محيط المربع الثاني:

$P_2 = 4 \times (\sqrt{4x^2 – 28x + 49})$

إذا كان مجموع المحيطين يساوي 56، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$P_1 + P_2 = 56$

$4 \times (\sqrt{x^2 + 6x + 9}) + 4 \times (\sqrt{4x^2 – 28x + 49}) = 56$

الآن، نقوم بحل هذه المعادلة للعثور على قيمة $x$. لتبسيط الحسابات، يمكننا تقسيم الطرفين على 4:

$\sqrt{x^2 + 6x + 9} + \sqrt{4x^2 – 28x + 49} = 14$

ثم نقوم بتفريغ المعادلة باستخدام أعداد مربعة للتخلص من الجذور:

$\sqrt{(x+3)^2} + \sqrt{(2x-7)^2} = 14$

$x + 3 + 2x – 7 = 14$

$3x – 4 = 14$

$3x = 18$

$x = 6$

إذا كانت قيمة $x$ تساوي 6.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قوانين حسابية وهندسية. لنبدأ بكتابة المعادلة التي تمثل مجموع محيطي المربعين:

$4 \times (\sqrt{x^2 + 6x + 9}) + 4 \times (\sqrt{4x^2 – 28x + 49}) = 56$

ثم نقوم بتقسيم الطرفين على 4 لتبسيط الحسابات:

$\sqrt{x^2 + 6x + 9} + \sqrt{4x^2 – 28x + 49} = 14$

في هذه المرحلة، نقوم بتفريغ المعادلة باستخدام الخاصية التي تقول أن $\sqrt{a^2} = a$، حيث $a$ هو عدد حقيقي إيجابي:

$\sqrt{(x+3)^2} + \sqrt{(2x-7)^2} = 14$

الآن، يمكننا إزالة الجذور ببساطة:

$(x+3) + (2x-7) = 14$

نجمع معاملات $x$ والأعداد المستقلة:

$3x – 4 = 14$

ونقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة $x$:

$3x = 18$

$x = 6$

القوانين المستخدمة في هذا الحل تتضمن:

1. محيط المربع: يُحسب بضرب طول أحد أضلاع المربع في 4.
2. خاصية الجذر: $\sqrt{a^2} = a$ حيث $a$ هو عدد حقيقي إيجابي.
3. التفريغ: استخدام خاصية الجذر لتفريغ المعادلة من الجذور.
4. جمع المعاملات: جمع معاملات $x$ والأعداد المستقلة في المعادلة.
5. حل المعادلة: حل المعادلة النهائية للعثور على قيمة $x$.

باستخدام هذه القوانين، تم التوصل إلى أن قيمة $x$ تساوي 6.