حلاً لمسألة المستطيل الهندسي (مسألة رياضيات)

في المستطيل الموضح، نسبة مساحة المثلث $ABC$ إلى مساحة المثلث $ADC$ هي $7:3$. إذا كان $AB + CD = X$ سم، فما هو طول القطعة $\overline{AB}$؟ إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال السابق هي 147، ما قيمة المتغير المجهول X؟

نحن هنا أمام مسألة هندسية تتعلق بمستطيل وثلاثية متساوية القاعدتين. لحل هذه المسألة، سنستخدم خصائص المثلثات والمستطيلات. لنقم أولاً بتحليل المعطيات.

لنعتبر القاعدة السفلى للمستطيل هي الضلع $AD$ والقاعدة العلوية هي الضلع $BC$. سنلاحظ أن المستطيل مقسم إلى مثلثين، أي المثلث $ABC$ والمثلث $ADC$.

المعطيات تقول إن نسبة مساحة المثلث $ABC$ إلى مساحة المثلث $ADC$ هي $7:3$. يمكننا استخدام هذه النسبة لتمثيل المساحتين بشكل عام كمتغير، فلنفترض أن مساحة المثلث $ABC$ تكون $7x$ ومساحة المثلث $ADC$ تكون $3x$.

المعطيات الثانية تقول أن $AB + CD = X$ سم. في هذه الحالة، يمكننا تمثيل طول القاعدة العلوية $BC$ بمتغير $y$ والقاعدة السفلى $AD$ بمتغير $z$. إذاً، $AB = y$ و$CD = z$. وبما أن $AB + CD = X$، نحصل على المعادلة:

$y + z = X$

الآن، لنستخدم معلومات النسبة بين المساحتين. نعلم أن نسبة المساحة تكون كالتالي:

$\frac{\text{مساحة }ABC}{\text{مساحة }ADC} = \frac{7x}{3x} = \frac{\text{قاعدة }BC}{\text{قاعدة }AD}$

هذه النسبة تشير إلى أن القاعدة العلوية أكبر من القاعدة السفلى بنسبة $7:3$، لذا يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$\frac{y}{z} = \frac{7}{3}$

نحن الآن أمام نظام من معادلتين:

$y + z = X$
$\frac{y}{z} = \frac{7}{3}$

لحل هذا النظام، يمكننا استخدام تقنيات حل المعادلات. بمجرد حساب قيمة $y$، سنكون قد حللنا المسألة وجدنا القيمة المطلوبة لطول القاعدة $\overline{AB}$.