حلاً لمسألة الباقي الحسابي: قاعدة القسمة والأعداد الأولية (مسألة رياضيات)

لنفترض أن العدد الصحيح الإيجابي $k$ هو الذي عند قسمه على مربعه، يكون باقي القسمة هو 6. بمعنى آخر، نكتب العلاقة التالية:

$60 \equiv 6 \pmod{k^2}$

الآن، دعنا نحل للعثور على قيمة $k$ ومن ثم نحسب الباقي عند قسم 100 على $k$. لنقم بتفكيك علاقة الباقي:

$60 – 6 = 54 \equiv 0 \pmod{k^2}$

هذا يعني أن $54$ يمكن قسمه على $k^2$ بدون باقي. الآن، لنجد قيمة $k$، يجب علينا معرفة العوامل الأولية للعدد $54$. يمكن تعبير $54$ بالطريقة التالية:

$54 = 2 \times 3^3$

ومن ثم، نعلم أن $k$ يجب أن يكون عاملًا للعدد $54$. لذا، نختار العامل الأولي $k = 2$، حيث أن $2^2 = 4$ وباقي $54$ عند قسمه على $4$ هو $2$.

الآن، نحسب الباقي عند قسم 100 على $k$:

$100 \equiv 2 \pmod{4}$

إذًا، الباقي عند قسم 100 على $k$ هو 2.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكثر ونذكر القوانين التي تم استخدامها في الحل.

المسألة تقول إن عندما نقسم 60 على مربع عدد صحيح إيجابي $k$، يكون باقي القسمة هو 6. يمكن تعبير هذا بالمعادلة التالية:

$60 \equiv 6 \pmod{k^2}$

لحل هذه المعادلة، نقوم بطرح الباقي المعطى من العدد الأصلي. يمكن كتابة ذلك على النحو التالي:

$60 – 6 = 54 \equiv 0 \pmod{k^2}$

هنا، تم استخدام قاعدة باقي القسمة لطرح الباقيين. الآن، لنجد القيمة الممكنة لـ $k$، نحتاج إلى معرفة عوامل $54$. نعرض $54$ كمضاعف للعوامل الأولية:

$54 = 2 \times 3^3$

من هنا، نرى أن القيمة الممكنة لـ $k$ هي 2، حيث أن $2^2 = 4$ و$54$ يقسم على 4 بدون باقي.

الآن، نريد حساب الباقي عند قسم 100 على $k$. يتم ذلك باستخدام قاعدة باقي القسمة:

$100 \equiv 2 \pmod{4}$

هنا تم استخدام قاعدة باقي القسمة مرة أخرى. إذاً، الباقي عند قسم 100 على $k$ هو 2.

للتأكيد، استخدمنا قوانين الباقي في الحسابات وكذلك معرفة العوامل الأولية للعدد $54$ للعثور على القيمة المناسبة لـ $k$، وبالتالي حساب الباقي المطلوب.