حلاً لمسألة الأعداد المتتالية: ضرب وجمع (مسألة رياضيات)

ضرب رقمين متتاليين إيجابيين يساوي 506. ما هو مجموعهما؟

حل المسألة:
لنقم بتمثيل الرقمين بالطريقة التالية:
الرقم الأول: $x$
الرقم الثاني: $x + 1$ (لأنهما متتاليين)

نعلم أن حاصل ضربهما يساوي 506، لذا نقوم بكتابة المعادلة التالية:
$x \times (x + 1) = 506$

نقوم بفتح القوس وحل المعادلة:
$x^2 + x = 506$

الآن، نقوم بترتيب المعادلة في صورة قياسية:
$x^2 + x – 506 = 0$

نحتاج الآن إلى حساب قيمة $x$ باستخدام الصيغة العامة لحل المعادلة من الدرجة الثانية:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث:
$a = 1, \quad b = 1, \quad c = -506$

نستخدم هذه القيم في الصيغة:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \times 506}}{2}$

نحسب الجذرين:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{1 + 2024}}{2}$
$x_2 = \frac{-1 – \sqrt{1 + 2024}}{2}$

نقوم بتبسيط الجذور:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{2025}}{2} = \frac{-1 + 45}{2} = 22$
$x_2 = \frac{-1 – \sqrt{2025}}{2} = \frac{-1 – 45}{2} = -23$

نرفض القيمة السالبة لأننا نتحدث عن أعداد متتالية إيجابية. إذاً، الرقم الأول هو 22 والرقم الثاني هو $22 + 1 = 23$.

الآن، نقوم بحساب المجموع:
$\text{المجموع} = 22 + 23 = 45$

إذاً، المجموع هو 45.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكبر وذلك باستخدام القوانين الرياضية المناسبة. المسألة تقول إننا نبحث عن رقمين متتاليين إيجابيين يكون حاصل ضربهما يساوي 506. لنقم بتمثيل هذين الرقمين بالشكل التالي:

الرقم الأول: $x$
الرقم الثاني: $x + 1$ (لأنهما متتاليين)

نعلم أن حاصل ضربهما يساوي 506، لذا نقوم بكتابة المعادلة التالية:
$x \times (x + 1) = 506$

نواجه الآن معادلة من الدرجة الثانية، وهي:
$x^2 + x – 506 = 0$

نستخدم القاعدة العامة لحل المعادلات من الدرجة الثانية، وهي:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

في هذه المعادلة:
$a = 1, \quad b = 1, \quad c = -506$

نقوم بحساب قيمة $x$:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \times 506}}{2}$

الآن نحسب الجذرين:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{2025}}{2} = \frac{-1 + 45}{2} = 22$
$x_2 = \frac{-1 – \sqrt{2025}}{2} = \frac{-1 – 45}{2} = -23$

نرفض القيمة السالبة لأننا نبحث عن أعداد متتالية إيجابية. إذاً، الرقم الأول هو 22 والرقم الثاني هو $22 + 1 = 23$.

المرحلة الأخيرة هي حساب المجموع:
$\text{المجموع} = 22 + 23 = 45$

تم استخدام العديد من القوانين في هذا الحل، منها:

1. قانون ضرب الأعداد المتتالية: حيث كتبنا المعادلة $x \times (x + 1) = 506$.
2. قانون حل المعادلة من الدرجة الثانية: حيث استخدمنا الصيغة العامة $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$.
3. قانون جذور المعادلات: حيث قمنا بحساب الجذرين باستخدام الجذر التربيعي.

هذه القوانين تمثل الأسس الرياضية التي تم استخدامها لحل المسألة بشكل كامل.