حلاً للمعادلات الجذرية بالتفصيل (مسألة رياضيات)

المعادلة المعطاة: $4x^{1/3} – 2 \cdot \frac{x}{x^{2/3}} = 7 + \sqrt[3]{x}$

قمنا بتحليل المعادلة للوصول إلى القيمة الممكنة لـ $x$، وفيما يلي الحل بالتفصيل:

نبدأ برفع الطرف الأيمن من المعادلة إلى الثلاثة للتخلص من الجذر الثلاثي:
$4x – 2x^{1/3} = 7^3 + x$

ثم نجمع مصطلحات $x$ معًا على الجهة اليسرى:
$4x – x – 2x^{1/3} = 7^3$

ونوحد المصطلحات المتشابهة:
$3x – 2x^{1/3} = 7^3$

نقوم بتبسيط المصطلح الذي يحتوي على الجذر الثلاثي، حيث نضرب كل جانب في المعادلة في $x^{2/3}$ للتخلص من الجذر:
$3x^{2/3} – 2 = 7^3$

ثم نقوم بجمع المصطلح المستقل إلى الجهة اليمنى:
$3x^{2/3} = 7^3 + 2$

نقسم كل جانب على 3 للتخلص من المعامل:
$x^{2/3} = \frac{7^3 + 2}{3}$

الآن نقوم برفع كل جانب إلى الثلاثة للحصول على قيمة $x$:
$x = \left(\frac{7^3 + 2}{3}\right)^3$

تقوم الآلة الحاسبة بحساب القيمة وتقديم النتيجة بشكل تقريبي، ولكن يمكن ترك الإجابة بهذا الشكل لتحقيق الدقة المطلوبة.

لحل المعادلة $4x^{1/3} – 2 \cdot \frac{x}{x^{2/3}} = 7 + \sqrt[3]{x}$، سنتبع الخطوات التالية باستخدام بعض القوانين الجبرية والخوارزميات الحسابية:

1. رفع الطرف الأيمن للمعادلة إلى الثلاثة:
   $4x – 2x^{1/3} = 7^3 + x$

2. جمع المصطلحات التي تحتوي على $x$:
   $3x – 2x^{1/3} = 7^3$

3. تبسيط المعادلة باستخدام قاعدة أسس الجذور:
   $3x^{2/3} – 2 = 7^3$

4. جمع المصطلح المستقل إلى الجهة اليمنى:
   $3x^{2/3} = 7^3 + 2$

5. قسم كل جانب على 3 للتخلص من المعامل:
   $x^{2/3} = \frac{7^3 + 2}{3}$

6. رفع كل جانب إلى الثلاثة:
   $x = \left(\frac{7^3 + 2}{3}\right)^3$

القوانين المستخدمة:

• قاعدة أسس الجذور: استخدمنا قاعدة $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ لتبسيط المعادلة والتخلص من الجذر الثلاثي.

• الجمع والطرح: استخدمنا القاعدة الأساسية للجمع والطرح لجمع وطرح المصطلحات في المعادلة.

• الضرب والقسمة: قمنا بضرب وقسم المعادلة بعض المرات للتخلص من الكسور وتبسيط المعادلة.

• رفع الأس إلى قوة أخرى: استخدمنا عملية رفع الأس إلى القوة الثالثة للتخلص من الجذر الثلاثي.

هذه الخطوات تستند إلى القوانين الجبرية الأساسية والتقنيات الحسابية لحل المعادلة المعطاة.