حلاً رياضيًا: كرة ترتد بنسبة 1/2 (مسألة رياضيات)

تم تصميم كرة من قبل مهندس بحيث عندما يتم إسقاطها، ترتفع في كل مرة بارتفاع يكون نصف الارتفاع الذي سقطت منه. قام المهندس بإسقاط الكرة من منصة بارتفاع 16 مترًا واصطادها بعد أن انطلقت لمسافة 45 مترًا. كم مرة ارتدت الكرة؟

الحل:
لنقم بتحليل الحركة. عندما يرتفع الكرة بنصف ارتفاع الارتفاع السابق، يمكننا تكوين سلسلة هندسية.

الارتفاع الأول = 16 متر
الارتفاع الثاني = (1/2) × 16 متر = 8 متر
الارتفاع الثالث = (1/2) × 8 متر = 4 متر
الارتفاع الرابع = (1/2) × 4 متر = 2 متر
…

يمكننا أن نلاحظ أن السلسلة الهندسية هنا هي نصف القيمة السابقة. لنجمع المسافة التي سافرتها الكرة، يجب أن نجمع جميع الأرتفاعات، بما في ذلك الارتفاع الذي انطلقت منه.

المسافة = 16 + 8 + 4 + 2 + …
المسافة = 16 + 16 + 16 + 16 + … (نلاحظ أن الزيادة في المسافة هي 16 متر لكل ارتداد)

المسافة = 16 × (1 + 1 + 1 + 1 + …)
المسافة = 16 × (عدد غير محدود من الاضافات)

المسافة = 16 × ∞

لكننا نعلم أن الكرة انطلقت لمسافة 45 مترًا، لذلك:

16 × ∞ = 45

هذا يشير إلى أن الكرة ارتدت لعدد محدد من المرات. نقسم الطرفين على 16:

∞ = 45 / 16

نحسب القيمة الطولية:

∞ ≈ 2.8125

إذاً، الكرة ارتدت تقريبًا 2.8125 مرة. ولكن بما أنه لا يمكن للكرة أن ترتد جزءًا من مرة، فإن عدد الارتدادات الكلي يكون 2 مرات.

في هذه المسألة، نقوم بحلها باستخدام مفهوم السلسلة الهندسية، وتحديداً سلسلة هندسية حيث يكون النسبة بين كل عنصر والعنصر السابق يساوي 1/2.

لنحل المسألة بتفصيل أكثر:

1. تعريف الأرتفاعات:

   • الارتفاع الأول = 16 متر (المنصة التي تم إسقاط الكرة منها)

2. تحديد القاعدة للسلسلة الهندسية:

   • نسبة الارتفاع الجديد إلى الارتفاع السابق هي 1/2.

3. تحديد النمط:

   • الارتفاع الثاني = (1/2) × الارتفاع الأول
   • الارتفاع الثالث = (1/2) × الارتفاع الثاني
   • وهكذا…

4. المسافة التي سافرتها الكرة:

   • المسافة = الارتفاع الأول + الارتفاع الثاني + الارتفاع الثالث + …

5. تحليل القيم:

   • المسافة = 16 + (1/2) × 16 + (1/2)^2 × 16 + (1/2)^3 × 16 + …

6. تمثيل السلسلة الهندسية:

   • المسافة = 16 × (1 + 1/2 + (1/2)^2 + (1/2)^3 + …)

7. استخدام صيغة المجموع اللامحدود:

   • المسافة = 16 × (1 / (1 – 1/2))

8. التبسيط:

   • المسافة = 16 × (1 / 1/2)
   • المسافة = 16 × 2
   • المسافة = 32 متر

9. التحقق:

   • نعلم أن المسافة التي سافرتها الكرة هي 45 مترًا.
   • الرقم الناتج من الحل السابق هو 32 مترًا.

10. الاستنتاج:

    • الكرة ارتدت 32 مرة لتصل إلى المسافة الإجمالية التي سافرتها.

القوانين المستخدمة:

• قانون السلسلة الهندسية: يتمثل في استخدام نسبة ثابتة بين الأعضاء المتتالية في سلسلة.
• صيغة المجموع اللامحدود للسلسلة الهندسية: يتمثل في استخدام (1 / (1 – النسبة)) لحساب مجموع السلسلة الهندسية.