حلاً رياضياً لتعادل السباق بين A وB (مسألة رياضيات)

سرعة الفرد “أ” هي 17/14 مرة سرعة الفرد “ب”. إذا قرر “أ” و”ب” خوض سباق، فما هو الجزء الذي يجب على “أ” منحه كبداية لـ “ب”، حتى ينتهي السباق بتعادل؟

لنحل هذه المسألة، لنمثل سرعة “ب” بـ “س”، وبالتالي سرعة “أ” ستكون (17/14) س. الآن، إذا افترضنا أن السباق قد انتهى بتعادل، فإن الوقت الذي استغرقه كل فرد لاجتياز المسافة هو نفسه.

لنفترض أن المسافة هي “د” وزمن الفرد “ب” لاجتياز المسافة هو “ت”. بما أن السرعة تُعرف بالمسافة مقسومة على الزمن، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$ت = \frac{د}{س}$

الآن، لنقم بحساب الزمن الذي يحتاجه الفرد “أ” لاجتياز المسافة باستخدام سرعته، أي:

$ت = \frac{د}{(17/14)س}$

الآن، نحتاج إلى الوقت الذي يحتاجه الفرد “ب” لنفس المسافة بسرعته، لذا:

$ت = \frac{د}{س}$

نعلم أن هذين الزمنين هما نفسهما حينما ينتهي السباق بتعادل. لذلك، يمكننا تعيين المعادلتين معًا:

$\frac{د}{(17/14)س} = \frac{د}{س}$

الآن، يمكننا حساب الجزء “أ” الذي يجب أن يعطيه “أ” كبداية لـ “ب” لضمان تعادل السباق. سنفعل ذلك عن طريق حساب النسبة بين الأميال التي يجب على كل فرد قطعها في الزمن المحدد. لنقم بذلك:

$\text{الجزء الذي يعطيه “أ”} = \frac{د}{(17/14)س} – \frac{د}{س}$

لتبسيط الحسابات، يمكننا ضرب الكسر الثاني في $\frac{14}{14}$ لتجنب الكسور في المعادلة:

$\text{الجزء الذي يعطيه “أ”} = \frac{14د – 17د}{14س}$

الآن، يمكننا إلغاء الـ “د” من العداد:

$\text{الجزء الذي يعطيه “أ”} = \frac{-3د}{14س}$

وبما أننا نريد معرفة الجزء المئوي الذي يجب أن يعطيه “أ” لـ “ب”، يمكننا تحويل الكسر إلى نسبة مئوية:

$\text{الجزء الذي يعطيه “أ”} = \frac{-3}{14} \times 100$

$\text{الجزء الذي يعطيه “أ”} = -21.43\%$

إذاً، يجب أن يمنح “أ” لـ “ب” 21.43% من إجمالي المسافة كبداية لضمان تعادل السباق.

لحل هذه المسألة، سنستخدم القوانين المتعلقة بالسرعة والزمن. لنبدأ بتوضيح القوانين المستخدمة:

1. القانون الأول: السرعة = المسافة ÷ الزمن

   يعبر هذا القانون عن العلاقة بين السرعة والمسافة والزمن، حيث يمكن حساب السرعة باستخدام العلاقة: $سرعة = \frac{مسافة}{زمن}$.

2. القانون الثاني: الوقت = المسافة ÷ السرعة

   هذا القانون يتيح لنا حساب الوقت اللازم لاجتياز مسافة معينة باستخدام العلاقة: $زمن = \frac{مسافة}{سرعة}$.

3. قانون العلاقة بين السرعتين: سرعة “أ” = (17/14) × سرعة “ب”

   نستخدم هذا القانون لتعبير عن العلاقة بين سرعتي “أ” و”ب”.

4. قانون الوقت والمسافة لتحقيق تعادل السباق: الزمن “أ” = الزمن “ب”

   عندما يكون السباق تعادلًا، يكون الزمن الذي يحتاجه كل فرد لاجتياز المسافة هو نفسه.

الآن، دعونا نستكمل حلا المسألة:

لنستخدم القانون الثاني (الوقت = المسافة ÷ السرعة) لتعبير عن الوقت اللازم لكل فرد لاجتياز المسافة:

$ت = \frac{د}{س}$

ونعلم أن $سرعة “أ” = \frac{17}{14} \times سرعة “ب”$، لذلك:

$ت = \frac{د}{\left(\frac{17}{14} \times س\right)}$

الآن، لنحسب الزمن الذي يحتاجه الفرد “ب” لاجتياز نفس المسافة:

$ت = \frac{د}{س}$

الآن، نقوم بتعيين المعادلتين معًا:

$\frac{د}{\left(\frac{17}{14} \times س\right)} = \frac{د}{س}$

الآن، نقوم بتبسيط العبارة وإزالة الكسور:

$\frac{14د – 17د}{14س} = 0$

$-3د = 0$

الآن، يظهر لنا أن الـ “د” تقع في المقام الصفر، وهذا يعني أنه ليس هناك مسافة (بالمعنى الحقيقي) وإنما الزمن الذي يحتاجه الفرد “أ” هو نفس الزمن الذي يحتاجه الفرد “ب” لاجتياز المسافة، وهو الشرط الذي يحقق التعادل في السباق.

إذا كان لديك أي سؤال إضافي أو تحتاج إلى توضيح إضافي، فلا تتردد في طرحه.