حلاً رياضياً: تواصل العمل المشترك لإكمال المهمة (مسألة رياضيات)

بعد أن أنجز الشخص A جزءًا من العمل في 10 أيام، يأخذ الشخص B الوقت المتبقي لإكمال العمل وهو 42 يومًا. إذاً، كل يوم يقوم الشخص B بعمل يمثل جزءًا من العمل.

لنحسب كم يوم يحتاج الشخص B لإكمال العمل كاملاً:
عدد الأيام الكلي = عدد الأيام التي عمل فيها الشخص A + عدد الأيام التي عمل فيها الشخص B
عدد الأيام الكلي = 10 أيام + 42 يومًا = 52 يومًا

الشخص B يقوم بالعمل بمعدل معين في اليوم، لنمثل هذا المعدل بـ x.

إذاً، الجزء الذي يقوم به الشخص B في يوم واحد هو 1/52 من العمل.

الشخص A يقوم بالعمل بمعدل ثابت في اليوم، لنمثل هذا المعدل بـ y.

الشخص A قام بجزء من العمل في 10 أيام، لذا الجزء الذي قام به هو 10y.

إذاً، الجزء الذي تبقى للشخص B ليقوم به بمفرده هو 1 – 10y.

الشخص B يقوم بهذا الجزء في 42 يومًا، لذا:
(1 – 10y) = 42x

نعلم أيضًا أن الشخص B يقوم بجزء من العمل في يوم واحد، لذا:
x = 1/52

نحل المعادلة:
(1 – 10y) = 42 * (1/52)

نحسب قيمة y:
1 – 10y = 42/52

نقوم بتبسيط المعادلة:
10y = 1 – 42/52
10y = 10/52

نقسم على 10:
y = 1/52

إذاً، يقوم الشخص A بجزء من العمل يوميًا يعادل 1/52 من العمل.

الآن، نحسب الوقت الذي يحتاجهما الشخصان A و B لإكمال العمل معًا:
الوقت = العمل الكلي / (معدل العمل للشخص A + معدل العمل للشخص B)
الوقت = 1 / (1/52 + 1/52)

نقوم بجمع المقامين:
الوقت = 1 / (2/52)

نقلب الكسر:
الوقت = 52/2

نقوم بالقسمة:
الوقت = 26 يومًا

إذاً، يحتاج الشخصان A و B للعمل معًا لمدة 26 يومًا لإكمال العمل.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قانون العمل المشترك وقانون حجم العمل. قبل البدء في توضيح الحل، دعونا نذكر هاتين القاعدتين:

1. قانون العمل المشترك:
   إذا كان شخصان يعملان معًا، فإن معدل عملهما مجتمع يضاف.
   مثلاً، إذا كان الشخص A يعمل بمعدل “أ” والشخص B يعمل بمعدل “ب”، فإن معدل العمل الجماعي لهما هو “أ + ب”.

2. قانون حجم العمل:
   حجم العمل يتناسب طرديًا مع الوقت الذي قضاه العامل في أداء العمل. إذا كان الشخص A يقضي “ت” أيام في العمل بمعدل “أ”، فإن حجم العمل الذي قام به يكون “تأ”.

الآن، لنقم بحل المسألة:

الشخص A يقوم بالعمل بمعدل “أ” ويستغرق 80 يومًا لإكمال العمل، لذا حجم العمل الذي يقوم به يكون “80أ”.

بعد 10 أيام من العمل، أي أن الشخص A قام بجزء من العمل، تبقى الجزء الذي يحتاج الشخص B لإكماله هو “80أ – 10أ = 70أ”.

الشخص B يعمل بمعدل “ب” ويستغرق 42 يومًا لإكمال الجزء المتبقي “70أ”، لذا نستخدم قانون حجم العمل لحساب معدل الشخص B:

$42ب = 70أ$

$ب = \frac{70أ}{42}$

$ب = \frac{5أ}{3}$

الآن، بمعرفة معدل الشخص B، يمكننا استخدام قانون العمل المشترك لحساب معدل العمل الجماعي “أ + ب”:

$معدل العمل الجماعي = أ + \frac{5أ}{3}$

$معدل العمل الجماعي = \frac{3أ}{3} + \frac{5أ}{3}$

$معدل العمل الجماعي = \frac{8أ}{3}$

الآن، وباستخدام قانون حجم العمل مرة أخرى، نحسب الوقت الذي يحتاجه العمل الجماعي لإكمال العمل:

$الوقت = \frac{حجم العمل الكلي}{معدل العمل الجماعي}$

$الوقت = \frac{80أ}{\frac{8أ}{3}}$

$الوقت = \frac{80أ}{8} \times \frac{3}{1}$

$الوقت = 30$

إذاً، يحتاج الشخصان A و B للعمل معًا لمدة 30 يومًا لإكمال العمل.