حلاً رياضياً: البحث عن قيم X و k في معادلة متجهة (مسألة رياضيات)

المعادلة المعطاة هي:
$\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} X \\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ k \end{pmatrix}$

نريد أن نجد القيمة المناسبة للمتغير $k$ بحيث لا تكون لدينا أي حلاً للمعادلة في $t$ و $s$. لحل هذه المسألة، يمكننا مقارنة مكونات المصفوفات على كلا الجانبين من المعادلة.

مقارنة العناصر الأولى:
$3 + tX = 2 – s$

مقارنة العناصر الثانية:
$5 – 7t = -2 + ks$

نقوم بحل المعادلتين للعثور على القيم المناسبة. بالنظر إلى المعادلة الأولى، نجد أن:
$tX = -1 – s$

وباستخدام المعادلة الثانية، نجد أن:
$-7t = -7 – ks$

الآن نقوم بمقارنة العبارتين التي حصلنا عليهما:
$-1 – s = -7 – ks$

نقوم بحساب قيمة $k$ من هذه المعادلة:
$k = \frac{7+s}{s}$

لكن يعلم السائل بأن القيمة الصحيحة لـ $k$ هي 4. لذا، نعيد فحص حسابنا:
$\frac{7+s}{s} = 4$

نحل هذه المعادلة للعثور على قيمة $s$:
$7 + s = 4s$

$3s = 7$

$s = \frac{7}{3}$

الآن بعد أن حصلنا على قيمة $s$، نستخدمها في المعادلة الأصلية لحساب قيمة $X$:
$tX = -1 – s$

$tX = -1 – \frac{7}{3}$

$tX = -\frac{10}{3}$

$X = -\frac{10}{3t}$

إذاً، القيمة المطلوبة للمتغير $X$ هي $-\frac{10}{3t}$، والقيمة المطلوبة للمتغير $k$ هي 4.

لحل المسألة، سنقوم بتحليل المعادلة المتجهة وحساب القيم المناسبة للمتغيرات $X$ و $k$ بحيث لا تكون لدينا حلاً للمعادلة في $t$ و $s$.

للقيام بذلك، نقوم بمقارنة مكونات المصفوفات على الجانبين الأيمن والأيسر للمعادلة.

العناصر الأولى:
$3 + tX = 2 – s$

العناصر الثانية:
$5 – 7t = -2 + ks$

نقوم بحل المعادلتين للعثور على القيم المناسبة.

1. حل العنصر الأول:
   $tX = -1 – s$

2. حل العنصر الثاني:
   $-7t = -7 – ks$

المعادلة الثانية تعطينا قيمة $k$ بالنسبة لـ $s$:
$k = \frac{7+s}{s}$

لكننا نعلم أن القيمة الصحيحة لـ $k$ هي 4. لذا، نقوم بإعادة فحص حسابنا.

$\frac{7+s}{s} = 4$

حل هذه المعادلة يعطينا قيمة $s$:
$7 + s = 4s$

$3s = 7$

$s = \frac{7}{3}$

الآن، بعد حساب $s$، نستخدمه في المعادلة الأولى للعثور على قيمة $X$:
$tX = -1 – s$

$tX = -1 – \frac{7}{3}$

$tX = -\frac{10}{3}$

$X = -\frac{10}{3t}$

القوانين المستخدمة:

1. مقارنة المكونات:
   نستخدم مقارنة مكونات المصفوفات على الجانبين من المعادلة للعثور على العلاقات بين المتغيرات.

2. حل المعادلات:
   نستخدم الرياضيات لحل المعادلات المستخدمة لتحديد القيم المطلوبة.

3. القوانين الجبرية:
   نستخدم القوانين الجبرية لتبسيط المعادلات وحساب القيم بشكل صحيح.

4. تطبيق الشروط:
   نستخدم معرفتنا بالإجابة الصحيحة (قيمة $k$ هي 4) للتحقق من صحة الحسابات والتأكد من أننا حصلنا على الحل الصحيح.

باستخدام هذه القوانين والطرق، نمكن أنفسنا من حل المسألة بشكل دقيق وفعال.