حلاً رياضياً: اتجاهات الخطوط المتعامدة (مسألة رياضيات)

الخطين متعامدان، واتجاه الخط الأول يُمثل بواسطة المتجه $\begin{pmatrix} X \ -7 \end{pmatrix}$، واتجاه الخط الآخر يُمثل بواسطة المتجه $\begin{pmatrix} a \ 2 \end{pmatrix}.$ نحتاج إلى إيجاد قيمة المتغير $a$ والقيمة غير المعروفة $X$.

للحصول على القيمة المطلوبة، نستخدم خاصية عدم التوازي بين خطين متعامدين، والتي تنص على أن حاصل ضرب اتجاهي الخطين يكون -1. يمكننا كتابة المعادلة التي تعبر عن هذه الخاصية كالتالي:

$\begin{pmatrix} X \\ -7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ 2 \end{pmatrix} = -1$

الضرب النقطي يتم بجمع حاصل ضرب المكونات المتماثلة معًا. لذا، نقوم بحساب هذا الضرب النقطي:

$Xa + (-7) \cdot 2 = -1$

الآن، لدينا معادلة واحدة تحتوي على المتغيرين $X$ و $a$. للحصول على القيم المطلوبة، يجب أن نستخدم المعلومة الإضافية التي تقول إن قيمة $a$ تكون 3. لذا، نعوض قيمة $a$ في المعادلة:

$X \cdot 3 + (-7) \cdot 2 = -1$

الآن يمكننا حساب قيمة المتغير $X$:

$3X – 14 = -1$

$3X = 13$

$X = \frac{13}{3}$

إذاً، قيمة المتغير $X$ هي $\frac{13}{3}$.

لنقم بحل المسألة بشكل مفصل، وسنستخدم قوانين الرياضيات وخصائص الضرب النقطي والخطوط المتعامدة.

المعادلة التي تمثل خاصية عدم التوازي بين خطين متعامدين هي:

$\begin{pmatrix} X \\ -7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ 2 \end{pmatrix} = -1$

حيث يمثل النقطة (X, -7) اتجاه الخط الأول، والنقطة (a, 2) اتجاه الخط الثاني.

للقيام بالضرب النقطي، نقوم بضرب المكونات المتماثلة معًا وجمع النواتج. لذلك، يكون الحساب كالتالي:

$Xa + (-7) \cdot 2 = -1$

ومن ثم:

$Xa – 14 = -1$

لدينا الآن معادلة واحدة تحتوي على المتغيرين X و a. ونحن نعلم أن قيمة a تساوي 3، لذا نستبدل a بقيمتها في المعادلة:

$X \cdot 3 – 14 = -1$

الآن، نقوم بحساب القيمة النهائية:

$3X – 14 = -1$

$3X = 13$

$X = \frac{13}{3}$

إذاً، قيمة المتغير X تكون $\frac{13}{3}$.

القوانين المستخدمة في هذا الحل تشمل:

1. خاصية عدم التوازي للخطوط المتعامدة: حاصل ضرب اتجاهين لخطين متعامدين يكون -1.
2. الضرب النقطي للمتجهات: حاصل ضرب مكونات المتجهات المتماثلة يتم بجمعها.
3. التعويض: استخدام القيم المعروفة لحل المعادلات والحصول على القيم غير المعروفة.