حلاً رياضياً: إيجاد قيمة ab

عندما نقوم بطرح قيمة $b$ من قيمة $a$ نحصل على الناتج $3$، وعند رفع قيمة $a$ و $b$ إلى الأس $2$ وجمعهما نحصل على $29$. نرغب في حساب قيمة $ab$. لنقم بحل هذه المسألة:

لدينا:

$a – b = 3$

$a^2 + b^2 = 29$

لنقم بتحديد قيم $a$ و $b$. يمكننا أن نقوم بحساب قيم $a$ و $b$ عبر حل المعادلات. للبداية، يمكننا إعادة صياغة المعادلة الأولى للحصول على $a$ بمفرده:

$a = b + 3$

ثم نقوم بتعويض هذه القيمة في المعادلة الثانية:

$(b + 3)^2 + b^2 = 29$

الآن يمكننا حساب القيم. نقوم بفتح القوسين وحل المعادلة الناتجة:

$b^2 + 6b + 9 + b^2 = 29$

$2b^2 + 6b – 20 = 0$

نقوم بتفكيك الثنائي ونحل المعادلة:

$b^2 + 3b – 10 = 0$

الآن، يمكننا حساب قيم $b$ عبر استخدام الصيغة العامة لحل المعادلة من الدرجة الثانية:

$b = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$، $b = 3$، و $c = -10$. بعد الحسابات، نجد قيمتين ل $b$ هما $-5$ و $2$.

الآن، نستخدم القيم المحسوبة ل $b$ لحساب القيم المقابلة ل $a$:

عند $b = -5$:
$a = (-5) + 3 = -2$

عند $b = 2$:
$a = 2 + 3 = 5$

لدينا الآن قيم ممكنة ل $a$ و $b$، ونحتاج إلى حساب $ab$. لنقم بذلك:

عند $a = -2$ و $b = -5$:
$ab = (-2) \times (-5) = 10$

عند $a = 5$ و $b = 2$:
$ab = 5 \times 2 = 10$

إذا كانت قيم $a$ و $b$ هي (-2, -5) أو (5, 2)، فإن $ab$ يكون مساويًا لـ 10.

سأقدم تفاصيل إضافية لحل المسألة وسأشرح القوانين التي تم استخدامها في هذا الحل.

المسألة تتألف من نظامين من المعادلات. النظام الأول يتيح لنا حساب قيمة $a$ بناءً على قيمة $b$، والنظام الثاني يتيح لنا حساب قيمة $a$ و $b$ بناءً على شروط محددة.

النظام الأول:

$a – b = 3$

هنا، نستخدم قاعدة الجمع والطرح للتلاعب بالمعادلة والوصول إلى قيمة $a$ بمفرده:

$a = b + 3$

النظام الثاني:

$a^2 + b^2 = 29$

هنا، نستخدم قاعدة التوسيع للجمع لفتح القوسين والحصول على معادلة من الدرجة الثانية في $a$ و $b$. لنقم بذلك:

$(b + 3)^2 + b^2 = 29$

نستخدم القاعدة التوسيع لحساب $(b + 3)^2$، ونضيفها إلى $b^2$ للحصول على المعادلة:

$b^2 + 6b + 9 + b^2 = 29$

الآن، نجمع المتغيرات المشابهة ونحصل على معادلة من الدرجة الثانية:

$2b^2 + 6b – 20 = 0$

نستخدم الصيغة العامة لحل معادلة الدرجة الثانية:

$b = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 2$، $b = 6$، و $c = -20$. نقوم بحساب القيم باستخدام الجذر التربيعي، ونجد قيمتين لـ $b$ هما $-5$ و $2$.

الآن، نستخدم القيم المحسوبة لـ $b$ لحساب القيم المقابلة لـ $a$ بواسطة المعادلة $a = b + 3$. نحصل على قيمتين لـ $a$ هما $-2$ و $5$.

أخيرًا، نستخدم قيم $a$ و $b$ لحساب $ab$. إذا كانت القيم هي (-2, -5) أو (5, 2)، فإن $ab$ يكون مساويًا لـ 10.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قاعدة الجمع والطرح: تم استخدامها لتلاعب في المعادلة الأولى والحصول على $a$ بمفرده.

2. قاعدة التوسيع للجمع: تم استخدامها لفتح القوسين في المعادلة الثانية والحصول على معادلة من الدرجة الثانية.

3. صيغة الجذر التربيعي: تم استخدامها لحساب قيم $b$ من المعادلة الثانية.

4. صيغة حل المعادلة الثانية: تم استخدامها لحساب قيم $b$ باستخدام القيم المعروفة لـ $a$ و $c$.

5. تلاعب في المتغيرات: تم استخدامها لتحويل المعادلات والوصول إلى المتغيرات المطلوبة.