حلاً تفصيليًا لمسألة الجمع التسلسلي (مسألة رياضيات)

نظرًا لأن المسألة تطلب مني إعادة صياغة العبارة الحسابية وتوفير حلاً تفصيليًا، سأقوم بتلبية الطلب كما هو مطلوب.

المسألة:
“قم بتقييم الجمع التالي: 12 + 22 + 32 + … + 102”

الحل:
لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام تقنية الجمع التسلسلي لتقدير المجموع. يتبع الحل:

لنحسب الفارق بين الأعداد المتتالية:
$d = 22 – 12 = 10$

ثم يمكننا استخدام الصيغة التالية لحساب المجموع:
$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)$

حيث:
$S_n$ هو مجموع المصفوفة،
$n$ هو عدد العناصر في المصفوفة،
$a_1$ هو العنصر الأول،
$a_n$ هو العنصر الأخير.

نعرف أن العنصر الأخير $a_n$ هو 102. لحساب عدد العناصر ($n$)، يمكننا استخدام العلاقة:
$a_n = a_1 + (n-1)d$

نقوم بحساب قيمة $n$ عن طريق وضع القيم المعروفة في العلاقة:
$102 = 12 + (n-1) \cdot 10$

نحسب قيمة $n$ كالتالي:
$90 = (n-1) \cdot 10$
$n-1 = 9$
$n = 10$

الآن، بعد حساب قيمة $n$، يمكننا استخدام الصيغة لحساب المجموع:
$S_n = \frac{10}{2} \cdot (12 + 102) = 5 \cdot 114 = 570$

إذاً، المجموع المطلوب هو 570.

بالطبع، دعنا نقوم بتوضيح التفاصيل الأكثر دقة لحل المسألة وذلك باستخدام قوانين الجمع التسلسلي. سأقوم بشرح الخطوات بتفصيل أكبر وذكر القوانين المستخدمة.

المسألة:
“قم بتقييم الجمع التالي: 12 + 22 + 32 + … + 102”

الحل:

1. حساب الفارق (d):
   قبل البدء في استخدام قوانين الجمع التسلسلي، يتوجب علينا حساب الفارق بين الأعداد المتتالية. في هذه المسألة:
   $d = 22 – 12 = 10$

2. استخدام قانون العنصر العام:
   نستخدم قانون العنصر العام لحساب عدد العناصر ($n$)، الذي يمكن حسابه باستخدام العلاقة:
   $a_n = a_1 + (n-1)d$
   حيث $a_n$ هو العنصر الأخير، و$a_1$ هو العنصر الأول.
   في هذه المسألة:
   $102 = 12 + (n-1) \cdot 10$
   نحل المعادلة للعثور على قيمة $n$، ونجد $n = 10$.

3. استخدام قانون المجموع:
   بعد معرفة عدد العناصر ($n$)، نستخدم قانون المجموع لحساب المجموع ($S_n$):
   $S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)$
   نستخدم القيم المعروفة:
   $S_n = \frac{10}{2} \cdot (12 + 102) = 5 \cdot 114 = 570$

القوانين المستخدمة:

1. قانون العنصر العام:
   $a_n = a_1 + (n-1)d$
   يستخدم لحساب قيمة عنصر في تسلسل عند معرفة العنصر الأول، الفارق، وعدد العناصر.

2. قانون المجموع:
   $S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)$
   يستخدم لحساب مجموع سلسلة حسابية عند معرفة عدد العناصر، العنصر الأول، والعنصر الأخير.