حلاقة مشكلة باستخدام التوافق الصيني (مسألة رياضيات)

عند قسمة العدد الصحي الإيجابي $n$ على 5، يكون باقي القسمة هو 1. وعند قسمه على 7، يكون باقي القسمة هو 3. نرغب في معرفة أصغر عدد صحي إيجابي $k$ بحيث يكون $k + n$ مضاعفًا للعدد 40.

لنقم أولاً بتعبير الشروط المعطاة بشكل رياضي:
$n \equiv 1 \pmod{5}$
$n \equiv 3 \pmod{7}$

نستخدم مصطلح “التوافق الصيني” للعثور على قيمة $n$. لنحسب القيمة المطلوبة:

$n \equiv 1 \pmod{5} \implies n = 5a + 1$
$n \equiv 3 \pmod{7} \implies n = 7b + 3$

الآن، لنضع هاتين القيمتين معًا:
$5a + 1 = 7b + 3$

نقوم بترتيب العلاقة للعثور على علاقة بين $a$ و $b$:
$5a – 7b = 2$

الآن، نبحث عن حلاً صحيحًا لهذه المعادلة. من الواضح أن أصغر حل صحيح يكون $a = 4$ و $b = 3$.

الآن، نستخدم قيمة $a$ في إيجاد قيمة $n$:
$n = 5a + 1 = 5 \times 4 + 1 = 21$

الآن نحسب $k$ بحيث يكون $k + n$ مضاعفًا للعدد 40:
$k + n \equiv 0 \pmod{40}$
$k + 21 \equiv 0 \pmod{40}$

نحسب القيمة المناسبة لـ $k$ بحيث تحقق الشرط أعلاه. من الواضح أن $k = 19$ يعمل:
$19 + 21 = 40$

إذًا، العدد الصحي $k$ الأصغر المطلوب هو 19.

لحل هذه المسألة، استخدمنا مفهوم “التوافق الصيني” للتعامل مع نظام من المعادلات التي تتعلق بالباقي عند القسمة. لنقم بتوضيح الخطوات بشكل أكثر تفصيلًا مع ذكر القوانين المستخدمة:

الشروط المعطاة:
$n \equiv 1 \pmod{5}$
$n \equiv 3 \pmod{7}$

نستخدم قاعدة القسمة للتعبير عن هذه الشروط:
$n = 5a + 1$
$n = 7b + 3$

نضع هاتين العلاقتين معًا للعثور على علاقة بين $a$ و $b$:
$5a – 7b = 2$

في هذه المرحلة، قمنا بتطبيق قاعدة “التوافق الصيني”، وهي تقنية رياضية لحساب الحلول المشتركة لمجموعة من المعادلات التي تتعلق بالباقي عند القسمة.

نبحث عن حلاً صحيحًا للمعادلة:
$5a – 7b = 2$

نجد أن $a = 4$ و $b = 3$ هما حلا صحيحًا.

ثم قمنا بحساب قيمة $n$ باستخدام أحد الشروط:
$n = 5a + 1 = 5 \times 4 + 1 = 21$

بعد ذلك، قمنا بتحديد العدد $k$ بحيث يكون $k + n$ مضاعفًا للعدد 40:
$k + n \equiv 0 \pmod{40}$
$k + 21 \equiv 0 \pmod{40}$

وجدنا أن $k = 19$ يلبي هذا الشرط.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة القسمة: تستخدم للتعبير عن الباقي عند القسمة.
2. التوافق الصيني: تستخدم لحساب الحلول المشتركة لمجموعة من المعادلات التي تتعلق بالباقي عند القسمة.

باستخدام هذه القوانين، تمكنا من فحص الشروط المعطاة وحساب القيم الصحيحة للمتغيرات المطلوبة لحل المسألة.