مسائل رياضيات

حلاقة قطاع دائري باستخدام الزوايا المركزية (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 29/12/2023
0

نعمل مع مسألة هندسية تتعلق بدائرة وقطاع زاوي حاد الزاوية. نعلم أن القطاع يقطع من دائرة نصف قطرها 6، ونريد إيجاد نصف قطر الدائرة المحيطة بالقطاع.

لنقم أولاً بإعادة صياغة المسألة باللغة العربية:

مواضيع ذات صلة

نقوم بقطع قطاع من دائرة بزاوية مركزية حادة الزاوية $\theta$، ونعرف أن نصف قطر هذه الدائرة يساوي 6. المطلوب هو إيجاد نصف قطر الدائرة المحيطة بالقطاع.

الإجابة المعروفة هي $3\sec\frac{1}{2}\theta$. نريد الآن حساب القيمة المجهولة $X$ في التعبير $X \cos \frac12 \theta$.

الحلاقة المعروفة هي $\sec\frac{1}{2}\theta = \frac{1}{\cos\frac{1}{2}\theta}$.

إذاً، نقوم بتعويض هذه القيمة في الإجابة المعروفة:
Xcos⁡12θ=X⋅cos⁡12θ=X⋅1sec⁡12θ.X \cos \frac12 \theta = X \cdot \cos\frac{1}{2}\theta = X \cdot \frac{1}{\sec\frac{1}{2}\theta}.

ونعلم أن $\sec\frac{1}{2}\theta$ تعادل $3\sec\frac{1}{2}\theta$، لذا:
X⋅1sec⁡12θ=X⋅13sec⁡12θ.X \cdot \frac{1}{\sec\frac{1}{2}\theta} = X \cdot \frac{1}{3\sec\frac{1}{2}\theta}.

وباستخدام قاعدة التبسيط $\frac{1}{a} = \frac{b}{b \cdot a}$، نحصل على:
X⋅13sec⁡12θ=X3⋅1sec⁡12θ.X \cdot \frac{1}{3\sec\frac{1}{2}\theta} = \frac{X}{3} \cdot \frac{1}{\sec\frac{1}{2}\theta}.

وبتعويض القيمة المعروفة $\sec\frac{1}{2}\theta$، نحصل على:
X3⋅1sec⁡12θ=X3⋅13sec⁡12θ=X9.\frac{X}{3} \cdot \frac{1}{\sec\frac{1}{2}\theta} = \frac{X}{3} \cdot \frac{1}{3\sec\frac{1}{2}\theta} = \frac{X}{9}.

إذاً، نعلم أن $X \cos \frac12 \theta = \frac{X}{9}$. وبما أن هذا يتناسب مع الإجابة المعروفة $3\sec\frac{1}{2}\theta$، فإن $X$ يساوي 9.

المزيد من المعلومات

في هذه المسألة، نستخدم مفهومات هندسية متقدمة تتعلق بالزوايا المركزية والقوانين المتعلقة بالدوال الزائدية. لحل المسألة، نعتمد على القوانين التالية:

  1. الزاوية المركزية:
    إذا كان لدينا قطاع دائري بمركزية زاويّة $\theta$، فإن الزاوية المركزية تكون مساوية لقيمة الزاوية الزاوية النصفية المقابلة للقوس.

    مقدار الزاوية المركزية=θ\text{مقدار الزاوية المركزية} = \theta

  2. التمميز والتكميل:
    إذا كانت لدينا زاوية مركزية $\theta$، فإن زاويتها التكميلية (الزاوية التي تكملها لتصبح 180 درجة) تكون $\pi – \theta$.

  3. الزاوية النصفية:
    الزاوية النصفية هي نصف قيمة الزاوية المركزية.

    الزاوية النصفية=θ2\text{الزاوية النصفية} = \frac{\theta}{2}

  4. الدوال الزائدية:
    في هذه المسألة، نعتمد على الدوال الزائدية، مثل الجيب والتمام والثنائي والتمام.

    sec⁡θ=1cos⁡θ\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}

  5. التبسيط الجبري:
    نقوم بتبسيط التعابير الجبرية واستخدام العلاقات بين الدوال للتوصل إلى الإجابة.

الآن، لنقم بحل المسألة:

نعلم أن القيمة المعروفة للنصف قطر تكون $3\sec\frac{1}{2}\theta$، ونريد إيجاد قيمة $X$ في التعبير $X \cos \frac12 \theta$.

نستخدم القاعدة التي تقول أن $\sec\frac{1}{2}\theta = \frac{1}{\cos\frac{1}{2}\theta}$، ونعوض هذه القيمة في التعبير:

Xcos⁡12θ=X⋅1sec⁡12θX \cos \frac12 \theta = X \cdot \frac{1}{\sec\frac{1}{2}\theta}

ثم نستخدم العلاقة الجبرية لتبسيط الكسر:

X⋅1sec⁡12θ=X3sec⁡12θX \cdot \frac{1}{\sec\frac{1}{2}\theta} = \frac{X}{3\sec\frac{1}{2}\theta}

وباستخدام التعبير المعروف $\sec\frac{1}{2}\theta = 3\sec\frac{1}{2}\theta$، نحصل على:

X3sec⁡12θ=X9\frac{X}{3\sec\frac{1}{2}\theta} = \frac{X}{9}

إذاً، نعلم أن $X \cos \frac12 \theta = \frac{X}{9}$، وبما أن هذا يتناسب مع القيمة المعروفة $3\sec\frac{1}{2}\theta$، فإن $X$ يساوي 9.

اخر تحديث 29/12/2023
0