حلاقة المعادلات الرياضية: تحليل وحسابات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: إذا كانت $a – b = 5$ و $a^2 + b^2 = 35$، فما قيمة التعبير $a^3 – b^3$؟

لحل هذه المسألة، سنبدأ بحساب قيمة $a$ و $b$. يمكننا استخدام المعلومة الأولى $a – b = 5$ للحصول على $a$ أو $b$، ومن ثم استخدامه في المعادلة الثانية $a^2 + b^2 = 35$.

للتبسيط، دعونا نقوم بحساب $a$ من المعلومة الأولى:
$a – b = 5$
$a = b + 5$

الآن سنقوم بتعويض هذه القيمة في المعادلة الثانية:
$(b + 5)^2 + b^2 = 35$

نقوم بتوسيع الشكل:
$b^2 + 10b + 25 + b^2 = 35$

نجمع المصطلحات المتشابهة:
$2b^2 + 10b + 25 = 35$

نقوم بطرح 35 من الجهتين:
$2b^2 + 10b – 10 = 0$

نقوم بتبسيط القيمة:
$b^2 + 5b – 5 = 0$

الآن، يمكننا حل هذه المعادلة الرباعية باستخدام الصيغة العامة للجذر التربيعي:
$b = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 – 4(-5)}}{2}$

نحسب القيمتين الممكنتين لـ $b$ ونرى أيهما مناسبة:
$b_1 = \frac{-5 + \sqrt{45}}{2} \approx 0.79$
$b_2 = \frac{-5 – \sqrt{45}}{2} \approx -5.79$

نأخذ القيمة الموجبة لأنها أكثر ملاءمة:
$b \approx 0.79$

الآن، نستخدم هذه القيمة لحساب $a$:
$a = b + 5 \approx 0.79 + 5 \approx 5.79$

الآن، بمعرفة قيم $a$ و $b$، يمكننا حساب قيمة التعبير $a^3 – b^3$:
$a^3 – b^3 = (5.79)^3 – (0.79)^3$

قمنا بالحسابات والتبسيط للوصول إلى الجواب النهائي:
$a^3 – b^3 \approx 331.51$

إذا كانت الإجابة التقريبية للمسألة هي $331.51$.

بالطبع، سأقدم تفاصيل أكثر حول حل المسألة والقوانين المستخدمة.

المسألة تتطلب حساب قيمة التعبير $a^3 – b^3$ بناءً على المعلومات المعطاة: $a – b = 5$ و $a^2 + b^2 = 35$.

للبداية، استخدمنا المعلومة الأولى $a – b = 5$ للحصول على قيمة $a$ أو $b$. في هذه الحالة، اخترنا حساب $a$ بالتالي: $a = b + 5$.

ثم، قمنا بتعويض هذه القيمة في المعادلة الثانية $a^2 + b^2 = 35$ للحصول على معادلة جديدة، وقمنا بحساب القيم الممكنة لـ $b$. هنا تم استخدام القاعدة الرياضية الأساسية لجمع الأرقام.

من ثم، باستخدام الصيغة العامة للجذر التربيعي في معادلة الدرجة الثانية، حسبنا القيم الممكنة لـ $b$ واخترنا القيمة الموجبة بموجب المعقولية.

بعد ذلك، استخدمنا القيمة المحسوبة لـ $b$ لحساب قيمة $a$ باستخدام المعلومة $a = b + 5$.

أخيرًا، وبعد معرفة قيم $a$ و $b$، استخدمناهما لحساب قيمة التعبير $a^3 – b^3$ بواسطة الصيغة التي تعبر عن حاصل ضرب فرق مكعبين.

القوانين المستخدمة:

1. القاعدة الرياضية الأساسية: $a + b = b + a$، حيث يمكن تبديل ترتيب الأرقام في الجمع.
2. صيغة الجذر التربيعي: لحساب الجذر التربيعي للعدد $x$ في المعادلة $ax^2 + bx + c = 0$، يتم استخدام الصيغة: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$.
3. صيغة حاصل ضرب فرق مكعبين: $a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$.

تمثل هذه القوانين الأساسية أدوات حاسمة في حل المسألة، وتوفر الإطار الرياضي الضروري لتقديم حلا دقيقا ومناسبا للمسألة الرياضية.