حلا لمعادلة مصفوفة خطية ذات قوى مرتبة (مسألة رياضيات)

المصفوفة المعطاة هي:
$\bold{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$

والمطلوب هو إيجاد الثوابت $p$, $q$, و $r$ التي تجعل التالي صحيحًا:
$\bold{A}^3 + p \bold{A}^2 + q \bold{A} + r \bold{I} = \bold{0}.$

للقيام بهذا، نبدأ بحساب القوى المرتبة للمصفوفة $\bold{A}$. نقوم برفع المصفوفة إلى القوى الثانية والثالثة على التوالي:
$\bold{A}^2 = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix},$
$\bold{A}^3 = \begin{pmatrix} 8 & 9 & 8 \\ 9 & 6 & 9 \\ 8 & 9 & 8 \end{pmatrix}.$

الآن نستخدم هذه القيم في المعادلة الأصلية:
$\bold{A}^3 + p \bold{A}^2 + q \bold{A} + r \bold{I} = \begin{pmatrix} 8 & 9 & 8 \\ 9 & 6 & 9 \\ 8 & 9 & 8 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

بعد الجمع، نضع الناتج في مصفوفة جديدة ونجعلها تكون مساوية للمصفوفة الصفرية:
$\begin{pmatrix} 8 + 5p + q + r & 9 + 2p + 2q & 8 + 2p + 2q \\ 9 + 2p + 2q & 6 + 2p + p + r & 9 + 2p + q \\ 8 + 2p + 2q & 9 + 2p + q & 8 + 5p + r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

الآن، نقوم بحل هذه المعادلة النظامية للحصول على قيم $p$, $q$, و $r$. إذا كان الجواب المعطى هو $(0, -6, -4)$، فإن الإجابة هي $X = 0$.

نحن هنا نتناول حلاً مفصلًا للمسألة المعطاة ونشرح الخطوات بشكل دقيق. سنقوم بحساب القوى المرتبة للمصفوفة $\bold{A}$ واستخدامها في المعادلة المعطاة.

أولاً، لنقم بحساب $\bold{A}^2$. لحساب هذه القوة، نقوم بضرب المصفوفة $\bold{A}$ في نفسها:
$\bold{A}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$

الضرب يعطينا:
$\bold{A}^2 = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}.$

ثم نقوم بحساب $\bold{A}^3$ بضرب المصفوفة $\bold{A}$ في $\bold{A}^2$:
$\bold{A}^3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}.$

الضرب يعطينا:
$\bold{A}^3 = \begin{pmatrix} 8 & 9 & 8 \\ 9 & 6 & 9 \\ 8 & 9 & 8 \end{pmatrix}.$

الآن، نستخدم هذه القيم في المعادلة المعطاة:
$\bold{A}^3 + p \bold{A}^2 + q \bold{A} + r \bold{I} = \begin{pmatrix} 8 & 9 & 8 \\ 9 & 6 & 9 \\ 8 & 9 & 8 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

نجمع هذه المصفوفات معًا ونضعها في مصفوفة جديدة:
$\begin{pmatrix} 8 + 5p + q + r & 9 + 2p + 2q & 8 + 2p + 2q \\ 9 + 2p + 2q & 6 + 2p + p + r & 9 + 2p + q \\ 8 + 2p + 2q & 9 + 2p + q & 8 + 5p + r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

الآن نقوم بحل هذه المعادلة النظامية للحصول على قيم $p$, $q$, و $r$. نضع المعادلة في شكل نظام معادلات خطية ونقوم بحله. لحل هذا النظام، يمكننا استخدام أي من طرق حل المعادلات الخطية، مثل طريقة المقارنة أو الاستبدال أو استخدام النمط الثلاثي.

بعد الحسابات، إذا كان الجواب المعطى هو $(0, -6, -4)$، فإن الإجابة النهائية هي $X = 0$. القوانين المستخدمة في هذا الحل هي قوانين الجبر الخطي وضرب المصفوفات وحساب القوى المرتبة للمصفوفات.