حلا لمعادلة الجذور المشتقة (مسألة رياضيات)

العدد $a+\sqrt{b}$ ومضاعفه المشتق تحتوي على جذر يحمل الرمز $\sqrt{b}$، حيث يكون الجزء الخاص بالجذر مثل العدد نفسه ولكن بعلامة مختلفة، ويُعرف هذا الجذر المشتق باسم الجذر المشتق المتبادل. إذا كان مجموع العدد $a+\sqrt{b}$ وجذره المشتق المتبادل هو $-4$، وكانت حاصل ضربهما هو X، فإننا نريد حساب قيمة $a+b$.

لنقم بتحديد قيم $a$ و $b$ باستخدام المعلومات المتاحة. إذا كان المجموع يُعطى بواسطة $a+\sqrt{b} + a-\sqrt{b} = -4$، يمكننا تجميع الأجزاء المتشابهة للتوصل إلى $2a = -4$، وبالتالي $a = -2$.

بعد أن حددنا قيمة $a$، يمكننا الآن التفكير في الجزء الآخر من المعادلة. إذا كان حاصل ضرب العدد $a+\sqrt{b}$ وجذره المشتق المتبادل هو X، فإننا نستخدم الصيغة التالية:
$(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = X$

نقوم بحساب هذا الضرب:
$(-2+\sqrt{b})(-2-\sqrt{b}) = X$

للتخلص من الجذر المشتق، نستخدم الصيغة $(a+b)(a-b) = a^2 – b$، لذا نحصل على:
$(-2)^2 – b = X$

$4 – b = X$

وبمعرفة أن قيمة $X$ تساوي 1، يمكننا حساب قيمة $b$ عن طريق حل المعادلة التالية:
$4 – b = 1$

$b = 3$

وبالتالي، نحصل على قيمة $a$ و $b$، حيث $a = -2$ و $b = 3$، ويمكننا الآن حساب $a+b$:
$a + b = -2 + 3 = 1$

لنقم بفحص التفاصيل بشكل أعمق في حل المسألة وذلك باستخدام القوانين الرياضية المنطقية المعتمدة خلال الحسابات. المعطيات الأساسية في المسألة هي:

1. العدد $a+\sqrt{b}$ وجذره المشتق المتبادل $a-\sqrt{b}$ لديهما مجموع يساوي $-4$.
2. حاصل ضرب هذين العددين يساوي $X$.

لحساب قيم $a$ و $b$، نستخدم القانون التالي:

$\text{مجموع العددين} = a+\sqrt{b} + a-\sqrt{b} = 2a$

وبما أن مجموع العدد وجذره المشتق المتبادل يساوي $-4$، فإننا نحصل على المعادلة:

$2a = -4$

بقسمة الطرفين على 2، نجد أن:

$a = -2$

الآن، لنحسب القيمة $X$، نستخدم القانون التالي:

$(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2 – b$

وباستخدام قيمة $a$ التي حصلنا عليها، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$(-2+\sqrt{b})(-2-\sqrt{b}) = (-2)^2 – b$

$4 – b = X$

وبمعرفة أن قيمة $X$ تساوي 1، يمكننا حل المعادلة التالية للعثور على قيمة $b$:

$4 – b = 1$

وبذلك نجد أن:

$b = 3$

أخيرًا، يمكننا حساب قيمة $a+b$ بجمع $a$ و $b$:

$a + b = -2 + 3 = 1$

القوانين المستخدمة في هذا الحل هي:

1. قانون مجموع العددين المتشابهين: عند جمع أو طرح عددين يحملان نفس الجزء (مثل $\sqrt{b}$)، يمكننا جمع أو طرح الأجزاء العددية والأجزاء المشتركة.

2. قانون ضرب الجذور المشتقة المتبادلة: عند ضرب جذر وجذره المشتق المتبادل، ينتج عنه إلغاء الجزء التحت الجذر والحصول على العدد العادي.

3. قانون حساب القيم في المعادلات: يمكن استخدام القوانين الرياضية الأساسية مثل الجمع، الطرح، والضرب لحساب القيم المجهولة في المعادلات.