حلا لمعادلات الجذور بالجبر (مسألة رياضيات)

العدد $a + \sqrt{b}$ ومتضاده الجذري لديهما مجموع يساوي $-4$ وحاصل ضربهما يساوي $1$. العثور على قيم $a$ و $b$.

المسألة:
إذا كان $a + \sqrt{b}$ ومتضاده الجذري لديهما مجموع يساوي $-4$ وحاصل ضربهما يساوي $1$، فما قيم $a$ و $b$؟

الحل:
لنحل هذه المسألة، لنمثل العدد $a + \sqrt{b}$ بمتغيرين. لنقول أن $a + \sqrt{b} = x$، حيث $x$ هو العدد الذي نبحث عنه. بما أننا نريد الجذر المتضاد، يمكننا كتابته كـ $a – \sqrt{b} = -x$.

المعطيات تشير إلى أن مجموعهما يساوي $-4$، لذلك يمكننا كتابة المعادلة التالية:
$x + (-x) = -4$

الحل لهذه المعادلة هو $x = -2$.

الآن، نعرف أن حاصل ضربهما يساوي $1$، لذا يمكننا كتابة المعادلة التالية:
$(a + \sqrt{b}) \cdot (a – \sqrt{b}) = 1$

وباستخدام القيمة التي وجدناها لـ $x$، يصبح لدينا:
$(-2 + \sqrt{b}) \cdot (-2 – \sqrt{b}) = 1$

لاحظ أن هذه المعادلة تشبه صيغة الفرق بين مربعين:
$(a – b) \cdot (a + b) = a^2 – b^2$

باستخدام هذا النمط، يمكننا حساب القيمة:
$(-2)^2 – (\sqrt{b})^2 = 1$

$4 – b = 1$

$b = 3$

لذا، قيمة $b$ هي $3$. ونعود إلى المعادلة الأصلية $a + \sqrt{b} = -2$، ونستخدم قيمة $b$ لحساب $a$:
$a + \sqrt{3} = -2$

$a = -2 – \sqrt{3}$

لذا، $a$ يساوي $-2 – \sqrt{3}$ و $b$ يساوي $3$. إذاً، $a + b$ يكون:
$-2 – \sqrt{3} + 3 = 1 – \sqrt{3}$

إذاً، القيمة المطلوبة هي $1 – \sqrt{3}$.

بالتأكيد، دعنا نقوم بتوسيع الحل وتوضيح الخطوات بشكل أكبر. لحل المسألة المعطاة، نحتاج إلى اتباع خطوات محددة واستخدام بعض القوانين الأساسية في الجبر.

المسألة:
إذا كان $a + \sqrt{b}$ ومتضاده الجذري لديهما مجموع يساوي $-4$ وحاصل ضربهما يساوي $1$، فما قيم $a$ و $b$؟

الحل:

1. تعريف المتغيرات:
   لنحل المسألة، دعونا نفترض أن $a + \sqrt{b}$ يمكن تمثيله بالمتغير $x$. بمعنى آخر، نفترض أن $a + \sqrt{b} = x$.

2. تحديد المتغير الآخر:
   بما أننا نتعامل مع جذور، فإن متضاد الجذري لـ $a + \sqrt{b}$ سيكون $a – \sqrt{b}$، ويمكن تمثيله بالمتغير $-x$.

3. كتابة المعادلة للمجموع:
   المعطيات تشير إلى أن مجموعهما يساوي $-4$، لذا يمكننا كتابة المعادلة التالية:
   $x + (-x) = -4$

4. حساب قيمة المتغير:
   حل المعادلة يعطي $x = -2$.

5. كتابة المعادلة للضرب:
   الآن نستخدم المعلومة الأخرى، أن حاصل ضربهما يساوي $1$، ونكتب المعادلة التالية:
   $(a + \sqrt{b}) \cdot (a – \sqrt{b}) = 1$

6. تبسيط المعادلة:
   باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، يمكننا تبسيط المعادلة إلى:
   $a^2 – b = 1$

7. حساب قيمة المتغير الآخر:
   باستخدام قيمة $x$ التي حصلنا عليها ($x = -2$)، نحسب القيمة:
   $(-2)^2 – b = 1$
   $4 – b = 1$
   $b = 3$

8. حساب القيمة النهائية:
   الآن نستخدم قيمة $b$ لحساب $a$ في المعادلة الأصلية:
   $a + \sqrt{3} = -2$
   $a = -2 – \sqrt{3}$

9. الإجابة النهائية:
   لذا، $a$ يساوي $-2 – \sqrt{3}$ و $b$ يساوي $3$. إذاً، $a + b$ يكون:
   $-2 – \sqrt{3} + 3 = 1 – \sqrt{3}$

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة الفرق بين مربعين:
   $(a – b) \cdot (a + b) = a^2 – b^2$

2. حساب الجذور ومتضاداتها:
   إذا كان $a + \sqrt{b}$ فإن متضاده الجذري يكون $a – \sqrt{b}$.

3. التلاعب بالمعادلات:
   استخدمنا خطوات الجبر الأساسية لحل المعادلات وتبسيط التعابير.