حلا لمسألة مثلث قائم الزاوية (مسألة رياضيات)

في مثلث قائم الزاوية، حيث تكون طول الساقين عددين صحيحين متتاليين، يكون طول الوتر (الوتر هو الجهة المقابلة لزاوية ال 90 درجة) هو 29 وحدة. ما هو إجمالي طول الساقين؟

لنقم بتمثيل طول الساقين بالأعداد الصحيحة المتتالية، فلنقل أحدهما بـ “x” والآخر بـ “x + 1”. ثم يمكننا استخدام مبرهنة فيثاغورس لحساب طول الوتر.

فيثاغورث يقول: “في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طول الساقين.”

لذا، لدينا المعادلة:
$x^2 + (x + 1)^2 = 29^2$

الآن سنقوم بحل هذه المعادلة. قم بفتح الأقواس وجمع الأعداد المشابهة للوصول إلى المعادلة التالية:
$2x^2 + 2x + 1 = 841$

قم بترتيب المعادلة بطرح 841 من الجهتين:
$2x^2 + 2x – 840 = 0$

بعد ذلك، قم بتسجيل المعادلة كمعادلة من الدرجة الثانية، ويمكن حلها باستخدام الصيغة التالية:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 2$ و $b = 2$ و $c = -840$. قم بحساب القيم الخاصة بكل من $x$ و $x + 1$ للحصول على طول الساقين.

إذاً، يتبين أن قيم الـ x هي -21 و 20. وبما أن طول الساق لا يمكن أن يكون قيمة سالبة، فإن القيمة المقبولة هي $x = 20$ والساق الأخرى هي $x + 1 = 21$.

إذاً، الطول الكلي للساقين هو $20 + 21 = 41$ وحدة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مبرهنة فيثاغورس ونقوم بتمثيل الأطوال باستخدام الأعداد الصحيحة. دعونا نستكشف الخطوات بتفصيل أكبر:

المسألة تطلب منا العثور على طول الساقين في مثلث قائم الزاوية حيث يكون طول الوتر (الوتر هو الجهة المقابلة لزاوية الـ 90 درجة) هو 29 وحدة.

لتمثيل الساقين باستخدام الأعداد الصحيحة، نفترض أن أحد الساقين هو $x$ والساق الآخر هو $x + 1$، حيث يكونون عددين صحيحين متتاليين.

ثم، نستخدم مبرهنة فيثاغورس التي تنص على أنه في مثلث قائم الزاوية، يكون مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طول الساقين. لذا، لدينا المعادلة:
$x^2 + (x + 1)^2 = 29^2$

نقوم بفتح الأقواس وتبسيط المعادلة:
$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 841$

ثم، نجمع المصطلحات المماثلة:
$2x^2 + 2x + 1 = 841$

نطرح 841 من الجهتين للحصول على المعادلة النهائية:
$2x^2 + 2x – 840 = 0$

الآن، نستخدم الصيغة العامة لحل المعادلات من الدرجة الثانية:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 2$ و $b = 2$ و $c = -840$. نحسب قيمة $x$ باستخدام الصيغة، ونجد أن القيمتين هما -21 و 20. نرفض القيمة السالبة لأن طول الساق لا يمكن أن يكون سالبًا.

إذًا، نتوصل إلى $x = 20$، ومن ثم يكون الساق الآخر $x + 1 = 21$.

الآن، نحسب إجمالي طول الساقين بجمع القيمتين:
$20 + 21 = 41$

لذلك، الإجابة النهائية هي أن إجمالي طول الساقين هو 41 وحدة.

القوانين المستخدمة في هذا الحل هي:

1. مبرهنة فيثاغورس: $c^2 = a^2 + b^2$ حيث $c$ هو طول الوتر و $a$ و $b$ هما طولي الساقين.
2. تمثيل الأعداد الصحيحة: استخدمنا الأعداد الصحيحة لتمثيل طولي الساقين بشكل متتالي.
3. حل المعادلة من الدرجة الثانية: استخدمنا الصيغة العامة لحل المعادلات من الدرجة الثانية للعثور على قيمة $x$.