حلا لمسألة حسابية: محيط الدائرة ومساحتها (مسألة رياضيات)

ضربُ قيمتي إنشين في محيط دائرة، بالإنش، يكون مساوياً لمساحة تلك الدائرة. ما هو طولُ نصف قطر الدائرة، بالإنش؟

الحل:
لنقم بتحليل هذه المسألة الرياضية. لنفترض أن قطر الدائرة هو $d$ بالإنش، وبالتالي، نصف القطر سيكون $r = \frac{d}{2}$ بالإنش.

نعلم أن محيط الدائرة يُحسب بالعلاقة:
$C = \pi d$

وأن مساحة الدائرة تُحسب بالعلاقة:
$A = \pi r^2$

الشرط المعطى في المسألة يقول إن ضرب قيمتي إنشين في المحيط يساوي مساحة الدائرة:
$2 \times \text{إنش} \times C = A$

نقوم بتعويض القيم المعروفة:
$2 \times \text{إنش} \times \pi d = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2$

نقوم بحساب القيم:
$2\pi d = \frac{\pi d^2}{4}$

نقوم بضرب كل جانب في 4 لتخلص من المقام:
$8\pi d = \pi d^2$

نقوم بترتيب المعادلة:
$d^2 – 8d = 0$

نقوم بعملية العامل المشترك:
$d(d – 8) = 0$

من هنا، نحصل على قيمتين للقطر: $d = 0$ أو $d = 8$.

ولكن لا يمكن أن يكون قياس القطر هو صفر، إذاً نستبعد $d = 0$. إذاً، القطر يكون $d = 8$ إنش.

لكن المطلوب هو طول نصف القطر $r$، والذي يُحسب بالعلاقة:
$r = \frac{d}{2}$

نقوم بحسابه:
$r = \frac{8}{2} = 4$

إذاً، طول نصف القطر هو 4 إنش.

بالطبع، دعونا نقم بتحليل أكثر تفصيلاً لهذه المسألة الرياضية ونشرح القوانين والعلاقات المستخدمة في الحل.

المسألة تتعامل مع مفهومين أساسيين في الهندسة الرياضية: محيط الدائرة ومساحتها. لنتذكر بعض القوانين المهمة:

1. محيط الدائرة (C): يتم حسابه باستخدام العلاقة $C = \pi d$، حيث $C$ هو محيط الدائرة، و$\pi$ هو عدد باي (نقرب قيمته إلى 3.14)، و$d$ هو قطر الدائرة.

2. مساحة الدائرة (A): تُحسب بواسطة العلاقة $A = \pi r^2$، حيث $A$ هي مساحة الدائرة، و$\pi$ هو عدد باي، و$r$ هو نصف قطر الدائرة.

المسألة تعبر عن العلاقة بين محيط الدائرة ومساحتها عندما يكون ضرب قيمتي إنشين في المحيط يساوي مساحة الدائرة. نقوم بتحويل هذه العلاقة إلى معادلة رياضية ونحلها للعثور على قيمة قطر الدائرة.

الخطوات الأساسية في الحل:

1. تحديد المتغيرات: نفترض أن قطر الدائرة يساوي $d$ بالإنش، وبالتالي، نصف القطر يكون $r = \frac{d}{2}$ بالإنش.

2. استخدام القوانين: نستخدم قوانين محيط الدائرة ومساحتها لتحويل العلاقة المعطاة في المسألة إلى معادلة رياضية.

3. حل المعادلة: نقوم بحل المعادلة للعثور على القيمة المناسبة لقطر الدائرة.

4. حساب نصف القطر: بمجرد العثور على قيمة القطر، نقوم بحساب نصف القطر بواسطة العلاقة $r = \frac{d}{2}$.

5. الإجابة النهائية: نقدم الإجابة بشكل صحيح وواضح.

هذه الطريقة تعتمد على مفاهيم هندسية أساسية واستخدام العلاقات الرياضية المعروفة لحساب محيط ومساحة الدائرة.