حلا لمسألة تكرار دالة رياضية (مسألة رياضيات)

لنقم أولاً بإعادة صياغة المسألة باللغة العربية:

لدينا دالة تعرف على النحو التالي:
$f(n) = \begin{cases} n^2 + 1 & \text{إذا كان } n \text{ فرديًا} \\ \dfrac{n}{2} & \text{إذا كان } n \text{ زوجيًا} \end{cases}.$

نريد معرفة قيمة المتغير المجهول $X$ بحيث تكون قيمة التكرار المتكررة للدالة $f$ سبع مرات، أي
$f(f(\dotsb f(n) \dotsb )) = 1$
لسبع مرات. نريد حساب قيمة $X$ على أن يكون $n$ يتغير بين $X$ و $100$، بما في ذلك حدود النطاق.

الآن، لنقم بحل المسألة:

لنبدأ بالنظر في التأثير المتكرر للدالة $f$ على القيم الزوجية والفردية. إذا كان $n$ فرديًا، فإن $f(n) = n^2 + 1$، وإذا كان $n$ زوجيًا، فإن $f(n) = \frac{n}{2}$.

لنقم بتحليل عدة حالات:

1. إذا كان $n$ فرديًا، فإن $f(n)$ سيكون زوجيًا (لأن مربع عدد فردي يعطي ناتج زوجي).
2. إذا كان $n$ زوجيًا، فإن $f(n)$ سيكون زوجيًا أيضًا.

لنقم الآن بتحليل تأثير التكرار المتكرر للدالة $f$ على الأنماط الفردية والزوجية:

1. إذا بدأنا برقم فردي، سيكون التأثير كالتالي: فردي، زوجي، فردي، زوجي، … وهكذا.
2. إذا بدأنا برقم زوجي، سيكون التأثير كالتالي: زوجي، زوجي، زوجي، … وهكذا.

الآن، نحن نبحث عن القيمة $X$ حيث يصبح ناتج التكرارات المتكررة للدالة $f$ يساوي $1$ بعد سبع تكرارات. إذا كان البداية فردية، فإن النمط سيكون “فردي، زوجي، فردي، زوجي، فردي، زوجي، فردي”، ولذا نحتاج إلى أن يكون $X$ فرديًا. إذا كان البداية زوجية، فإن النمط سيكون “زوجي، زوجي، زوجي، زوجي، زوجي، زوجي، زوجي”، ولذا نحتاج إلى أن يكون $X$ زوجيًا.

لذا، نستنتج أن القيمة المجهولة $X$ يجب أن تكون فردية وزوجية في الوقت نفسه. والقيمة الوحيدة التي تلبي هذا الشرط هي $X = 100$، حيث يمكن أن يكون البداية بعدد زوجي ونحصل على النمط “زوجي، زوجي، زوجي، زوجي، زوجي، زوجي، زوجي” ليكون ناتج التكرار السابع هو $1$.

بهذا، وفقًا للتحليل السابق، قيمة المتغير المجهول $X$ هي $100$.

لنقم بتوسيع الحل وتفصيله بمزيد من الشرح:

في هذه المسألة، نريد حساب قيمة المتغير المجهول $X$ بحيث يكون ناتج سبع تكرارات متتالية للدالة $f$ هو $1$. الدالة $f$ تتألف من قاعدتين: إذا كان العدد $n$ فرديًا، فإنه يتم تطبيق $f(n) = n^2 + 1$، وإذا كان زوجيًا، يتم تطبيق $f(n) = \frac{n}{2}$.

لفهم النمط الذي يحدث مع التكرارات المتتالية، يمكننا بدايةً فحص التأثير المتكرر للدالة على الأنماط الفردية والزوجية.

1. إذا كان البداية ($n$) فردية، يتبع النمط: فردي، زوجي، فردي، زوجي، فردي، زوجي، فردي.
2. إذا كانت البداية ($n$) زوجية، يتبع النمط: زوجي، زوجي، زوجي، زوجي، زوجي، زوجي، زوجي.

بناءً على هذا التحليل، نستنتج أنه إذا كانت البداية ($X$) فردية، سيكون النمط مثلما هو مطلوب، وإذا كانت زوجية، فإن النمط لن يتسق مع المطلوب.

لذلك، نحتاج إلى أن يكون المتغير المجهول $X$ فرديًا. ولكن هناك شيئًا إضافيًا يجب مراعاته، وهو أننا نريد أن يصبح الناتج نهائيًا $1$ بعد سبع تكرارات. للتحقق من هذا، يجب أن نفحص ما يحدث عندما نكون على بُعد خطوات من النهاية.

في الخطوة الأخيرة، يتم تطبيق $f$ للمرة السابعة، ونريد أن يكون الناتج $1$. لدينا اثنين من الحالات:

1. إذا كانت البداية ($X$) فردية، فإن آخر تطبيق سيكون زوجيًا (فقط لأنه يأتي بعد عدد فردي).
2. إذا كانت البداية ($X$) زوجية، فإن آخر تطبيق سيكون زوجيًا أيضًا.

بالنظر إلى ذلك، نجد أن الحالة الوحيدة التي تجمع بين كون $X$ فرديًا وفي الوقت نفسه يجعل آخر تطبيق زوجيًا هي $X = 100$.

قوانين الحساب المستخدمة في هذا الحل تتعلق بالتحليل الرياضي للأنماط، وتضم مفاهيم مثل طابع الأعداد الفردية والزوجية، وكيفية تغير الخصائص عند تكرار دالة معينة. القوانين تتعلق بالجبر والأعداد والتحليل الرياضي، ولكن الشرح يتم بطريقة غير صيغية للتعبير عن التفكير الرياضي بطريقة طبيعية.