حلا لمسألة القسمة الرياضية (مسألة رياضيات)

عند قسمة العدد الصحيح الإيجابي k على 5، يتبقى 2. وعند قسمة k على 6، يتبقى 5. إذا كان k أقل من 38، فما هو الباقي عند قسمه على 7؟

الحلا يمكن الوصول إليه باتباع الخطوات التالية:

لنبدأ بفحص العلاقة بين k والباقي عند القسمة على 5 و6. إذا كان الباقي عند قسم k على 5 هو 2، يمكننا كتابته بالصيغة التالية:

$k = 5a + 2$

حيث $a$ هو عدد صحيح. ومن جهة أخرى، إذا كان الباقي عند قسم k على 6 هو 5، يمكننا كتابته كالتالي:

$k = 6b + 5$

حيث $b$ هو عدد صحيح.

الآن، لنحل هذه المعادلات المتناسقة للعثور على قيمة k. يمكننا ببساطة تسوية هاتين المعادلتين باستخدام التوسيع المشترك، وذلك بجمع مضاعفات المعادلة الأولى بأعداد صحيحة حتى نجد عددا صحيحا يلبي الشرطين.

لنحسب تلك العلاقة:

$5a + 2 = 6b + 5$

نقوم بطرح 2 من الطرفين للحصول على:

$5a = 6b + 3$

الآن، نبحث عن حلا صحيحا لهذه المعادلة، ونجد أن $a = 3$ و $b = 2$ هي إحدى الأزواج التي تلبي المعادلة.

بالتالي، يمكننا حساب قيمة k بواسطة إعادة وضع قيمة a في أي من المعادلتين الأصليتين. لنستخدم المعادلة الأولى:

$k = 5a + 2$
$k = 5 \times 3 + 2 = 15 + 2 = 17$

الآن، نعلم أن k يساوي 17. وحيث أن k أقل من 38، فإن الباقي عند قسمه على 7 يكون هو الإجابة. لنقم بذلك:

$17 \mod 7 = 3$

إذا كانت إجابتنا هي 3، أي أن الباقي عند قسم k على 7 هو 3.

لحل المسألة، سنقوم بتحليل الشروط المعطاة واستخدام القوانين الرياضية المناسبة للوصول إلى الإجابة. سنستخدم قوانين القسمة والباقي ونقوم بتكاملها مع بعضها للوصول إلى القيمة المطلوبة.

الشروط المعطاة في المسألة هي:

1. عند قسم العدد k على 5، يكون الباقي 2.
2. عند قسم k على 6، يكون الباقي 5.
3. k أقل من 38.

لنبدأ بكتابة المعادلات الرياضية التي تمثل هذه الشروط. دعنا نمثل العدد الذي نبحث عنه بـ k.

من الشرط الأول:
$k = 5a + 2$
حيث $a$ هو عدد صحيح.

من الشرط الثاني:
$k = 6b + 5$
حيث $b$ هو عدد صحيح.

الآن، لنحسب التكامل المشترك لهاتين المعادلتين للعثور على قيمة k:

$5a + 2 = 6b + 5$

نقوم بتجميع الأعضاء المماثلة ونطرح 2 من الجهتين:
$5a = 6b + 3$

لنقم الآن بالتفكير في قيم ممكنة لـ $a$ و $b$ حتى نجد عدد صحيح يلبي المعادلة. يتبين أن $a = 3$ و $b = 2$ تعطينا حلاً.

الآن، نستخدم أي من المعادلتين الأصليتين لحساب قيمة k. سنستخدم المعادلة الأولى:
$k = 5a + 2$
$k = 5 \times 3 + 2 = 15 + 2 = 17$

الآن، نعلم أن k يساوي 17. للتحقق مما إذا كان هذا الرقم أقل من 38، وبالفعل هو كذلك.

أخيرًا، لحساب الباقي عند قسم k على 7، سنستخدم القسمة ونحسب:
$17 \mod 7 = 3$

تم استخدام قوانين القسمة والباقي والتوسيع المشترك في هذا الحل.