حلا لمسألة الدوال الكيوبية (مسألة رياضيات)

عند قسمة الدالة $f(x) = ax^3 – 6x^2 + bx – X$ على $(x – 1)$، يكون باقي القسمة هو $-5.$ وعند قسمة $f(x)$ على $(x + 2),$ يكون باقي القسمة هو $-53.$ يُطلب منا إيجاد الزوج المرتب $(a, b).$

إذاً، نحن بحاجة إلى حساب القيمة المجهولة $X$ عندما يكون الجواب المعروف للمسألة هو $(2,4).$

لنبدأ بحساب القيمة المجهولة $X:$

عندما نقوم بقسم $f(x)$ على $(x – 1),$ يكون باقي القسمة هو $-5.$ هذا يعني أنه عندما نقوم بتعويض $x = 1$ في $f(x),$ يجب أن يكون الناتج هو $-5.$

لنقم بذلك:
$f(1) = a(1)^3 – 6(1)^2 + b(1) – X = a – 6 + b – X.$

ونعلم أن $f(1) = -5,$ لذا يكون لدينا:
$a – 6 + b – X = -5.$

بالتالي:
$a + b – X = 1.$

الآن، نعرف أن الإجابة المعروفة للمسألة هي $(2,4),$ لذا نستخدم هذه القيم للحصول على معادلة أخرى:

$2a – 6 + 4b – X = -53.$

نقوم بحل المعادلتين المتجانستين للحصول على قيمة $X.$

أولاً، نضرب المعادلة الأولى في $2$ ونجمعها مع المعادلة الثانية:
$2(a + b – X) + (2a – 6 + 4b – X) = 2 \times 1 + (-53).$

نبسط الجهة اليسرى:
$2a + 2b – 2X + 2a – 6 + 4b – X = -51.$

نجمع المعاملات المتشابهة:
$4a + 6b – 3X – 6 = -51.$

نضيف $6$ إلى الطرفين:
$4a + 6b – 3X = -45.$

نقسم كل المعادلة على $3$:
$4a + 2b – X = -15.$

الآن، نستخدم المعادلة الجديدة مع المعادلة الأصلية للحصول على قيمة $X.$

$a + b – X = 1.$
$4a + 2b – X = -15.$

نطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية:
$3a + b = -16.$

نعلم أن الإجابة المعروفة هي $(2,4),$ لذا نستخدمها لحساب $X.$

$3(2) + 4 = 6 + 4 = 10.$

إذاً، قيمة $X$ هي $-10.$

لنلخص الإجابة:
$(a, b) = (2,4), \text{ و} X = -10.$

لنقم بحل المسألة بمزيد من التفاصيل، وسنستخدم في الحل قاعدة قسمة الدوال وفهم خصائص باقي القسمة.

المعادلة الأصلية هي:
$f(x) = ax^3 – 6x^2 + bx – X.$

عندما نقسم $f(x)$ على $(x – 1),$ يكون باقي القسمة هو $-5.$ وهذا يعني أن لدينا المعادلة التالية:

$f(x) = (x – 1)q(x) – 5.$

حيث $q(x)$ هو الجزء الناتج عن القسمة. يمكننا استخدام هذا العمل للحصول على علاقة بين $f(x)$ و$(x – 1).$

نعين $x = 1$ في المعادلة أعلاه:
$f(1) = (1 – 1)q(1) – 5.$

وبما أن $(1 – 1)$ يساوي صفر، يصبح الجزء الأيمن من المعادلة هو $-5.$ لذا، لدينا:
$f(1) = -5.$

ونعلم أن $f(1)$ هو نفسه $a + b – X$، لذا:
$a + b – X = -5.$

الآن، عندما نقوم بقسم $f(x)$ على $(x + 2),$ يكون باقي القسمة هو $-53.$ نستخدم نفس الفكرة:

$f(x) = (x + 2)q(x) – 53.$

نعين $x = -2$ في المعادلة أعلاه:
$f(-2) = (-2 + 2)q(-2) – 53.$

ومرة أخرى، لأن $(x + 2)$ يساوي صفر، يصبح الجزء الأيمن $-53.$ لذا، لدينا:
$f(-2) = -53.$

ونعلم أن $f(-2)$ هو نفسه $-8a + 12b – X$، لذا:
$-8a + 12b – X = -53.$

الآن لدينا نظامين من المعادلات:

$a + b – X = -5.$
$-8a + 12b – X = -53.$

نستخدم حل هذا النظام للعثور على قيم $(a, b, X).$

لحساب $X,$ نستخدم المعادلة الأولى:
$a + b – X = -5.$
$2 + 4 – X = -5.$
$6 – X = -5.$
$X = 11.$

لذا، القيمة المجهولة $X$ هي $11.$

في هذا الحل، استخدمنا قاعدة قسمة الدوال للعثور على علاقة بين $f(x)$ والعوامل التي نقسم عليها. كما استخدمنا القيم المعروفة للإجابة لحساب القيمة المجهولة $X.$