حلا لمسألة الدوائر الهندسية: نصف قطر دائرة Y

إذا كانت الدوائر X و Y لديهما نفس المساحة، وإذا كانت محيط دائرة X يساوي 18π، فإن نصف نصف قطر دائرة Y يمكن حسابه كما يلي:

لنبدأ بالتعبير عن علاقة المحيط (C) بالقطر (d) للدائرة، حيث يمكننا استخدام العلاقة التالية:

$C = \pi d$

إذاً، إذا كانت قيمة محيط دائرة $X$ تساوي $18\pi$، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$18\pi = \pi d_X$

حيث $d_X$ هو قطر دائرة $X$، ومن هذه المعادلة يمكننا حساب قيمة $d_X$ كالتالي:

$d_X = 18$

الآن، نعلم أن المساحة (A) للدائرة تتناسب مع تربيع النصف من القطر ($r$)، أي:

$A = \pi r^2$

ونعلم أيضاً أن مساحة دائرة $X$ تساوي مساحة دائرة $Y$، لذا يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$\pi (r_X)^2 = \pi (r_Y)^2$

حيث $r_X$ هو نصف قطر دائرة $X$، و $r_Y$ هو نصف قطر دائرة $Y$، ومن هذه المعادلة يمكننا إيجاد علاقة بين $r_X$ و $r_Y$ كالتالي:

$(r_X)^2 = (r_Y)^2$

نعلم أن قطر دائرة $X$ هو ضعف نصف قطر دائرة $Y$، إذاً يمكننا كتابة:

$(r_X)^2 = 4(r_Y)^2$

ومن ثم نحل للحصول على علاقة بين $r_X$ و $r_Y$:

$r_X = 2r_Y$

الآن نعود إلى قطر دائرة $X$ الذي حسبناه سابقًا $d_X = 18$، ونستخدم العلاقة بين القطر ونصف القطر ($r$) للدائرة:

$r_X = \frac{d_X}{2}$

$r_X = \frac{18}{2}$

$r_X = 9$

ومن ثم نستخدم العلاقة التي وجدناها بين $r_X$ و $r_Y$ للحصول على قيمة نصف قطر دائرة $Y$:

$r_Y = \frac{r_X}{2}$

$r_Y = \frac{9}{2}$

$r_Y = 4.5$

إذاً، نصف نصف قطر دائرة $Y$ هو 4.5.

لحل هذه المسألة، سنستخدم القوانين الأساسية المتعلقة بدوائر الهندسة، وهي:

1. علاقة محيط الدائرة بالقطر:
   $C = \pi d$
   حيث $C$ هو المحيط و $d$ هو القطر.

2. علاقة مساحة الدائرة بنصف القطر:
   $A = \pi r^2$
   حيث $A$ هي المساحة و $r$ هو نصف القطر.

3. التناسب في مساحة الدائرة مع تربيع نصف القطر:
   $\pi (r_X)^2 = \pi (r_Y)^2$

4. العلاقة بين قطر الدائرة ونصف قطرها:
   $r_X = \frac{d_X}{2}$

5. التناسب بين نصف قطر دائرة $X$ ونصف قطر دائرة $Y$:
   $(r_X)^2 = 4(r_Y)^2$

الحل بالتفصيل:

1. نعرف أن محيط الدائرة $X$ هو 18π، ونستخدم العلاقة الأولى:
   $18\pi = \pi d_X$
   حيث نحسب قيمة قطر $X$ ($d_X$) وتكون $d_X = 18$.

2. نستخدم العلاقة بين مساحة الدائرة ونصف قطرها للتعبير عن مساحة الدائرتين:
   $\pi (r_X)^2 = \pi (r_Y)^2$
   حيث يكون $r_X$ هو نصف قطر دائرة $X$، و $r_Y$ هو نصف قطر دائرة $Y$.

3. نستخدم العلاقة بين قطر الدائرة ونصف قطرها:
   $r_X = \frac{d_X}{2}$
   لحساب قيمة نصف قطر $X$ ونجد أن $r_X = 9$.

4. نستخدم العلاقة التي وجدناها بين $r_X$ و $r_Y$ للحصول على قيمة نصف قطر دائرة $Y$:
   $r_Y = \frac{r_X}{2}$
   ونحسب قيمة $r_Y$ وتكون $r_Y = 4.5$.

لذا، نصف نصف قطر دائرة $Y$ هو 4.5.