حلا لمسألة الدايمز الرياضية (مسألة رياضيات)

ناتاشا لديها أكثر من دولار ولكن أقل من 10 دولارات من الدايمز. عندما تقوم بترتيبها في مجموعات من 3، يكون لديها دايم واحد إضافي. وعندما تقوم بترتيبها في مجموعات من 4، لديها دايم واحد إضافي أيضاً. وعندما تقوم بترتيبها في مجموعات من 5، لديها دايم واحد إضافي أيضاً. كم عدد الدايمز التي تملكها ناتاشا؟

الحلا:

لنجد الحلاً لهذه المسألة، نحتاج إلى البحث عن عدد يفي بالشروط المذكورة. لنقم بتحليل الشروط:

1. “عندما ترتبها في مجموعات من 3، يكون لديها دايم واحد إضافي”: هذا يعني أن عدد الدايمز يكون من الشكل $3n + 1$، حيث $n$ هو عدد صحيح.

2. “عندما ترتبها في مجموعات من 4، لديها دايم واحد إضافي أيضاً”: هذا يعني أن العدد يكون من الشكل $4m + 1$، حيث $m$ عدد صحيح.

3. “عندما ترتبها في مجموعات من 5، لديها دايم واحد إضافي أيضاً”: هذا يعني أن العدد يكون من الشكل $5k + 1$، حيث $k$ عدد صحيح.

الآن، نحتاج إلى البحث عن عدد يلبي هذه الشروط. قد يكون من المفيد البحث عن العدد الذي يشترك في هذه الأشكال، وهو مضاعف مشترك للأعداد 3 و 4 و 5. إذاً، نجد أن العدد 60 يلبي هذه الشروط، حيث:

$60 = 3 \times 20 = 4 \times 15 = 5 \times 12$

لكن السؤال يفرض أن ناتاشا لديها أكثر من دولار وأقل من 10 دولارات. لذا نأخذ الحالة التي تقل عن 10 دولارات، وبما أن 60 سنتًا يساوي دولار و 10 سنت، فإن الإجابة هي 60 دايمًا.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليلها بشكل أكثر تفصيلاً ونستخدم القوانين الرياضية المناسبة. لنعيد صياغة الشروط:

1. “عندما ترتبها في مجموعات من 3، يكون لديها دايم واحد إضافي”: العدد يكون من الشكل $3n + 1$.

2. “عندما ترتبها في مجموعات من 4، لديها دايم واحد إضافي أيضاً”: العدد يكون من الشكل $4m + 1$.

3. “عندما ترتبها في مجموعات من 5، لديها دايم واحد إضافي أيضاً”: العدد يكون من الشكل $5k + 1$.

نحن بحاجة إلى البحث عن عدد يلبي هذه الشروط المتزامنة. للقيام بذلك، سنستخدم مفهوم الـ “التوافق الصيني” (Chinese Remainder Theorem). هذا المفهوم يتيح لنا حساب العدد الصحيح الوحيد في نطاق محدد يلبي مجموعة من الاستعراضات المتبقية.

فلنجعل:

$x \equiv 1 \pmod{3}$
$x \equiv 1 \pmod{4}$
$x \equiv 1 \pmod{5}$

نحن نبحث عن الحل لهذا النظام. بموجب التوافق الصيني، يمكننا حساب الحل عبر القوانين التالية:

1. حساب $M = 3 \times 4 \times 5 = 60$.
2. حساب $M_1 = \frac{M}{3} = 20$.
3. حساب $M_2 = \frac{M}{4} = 15$.
4. حساب $M_3 = \frac{M}{5} = 12$.

الآن نحتاج إلى حساب الأرقام $m_1، m_2، m_3$ حيث:

1. $m_1$ هو العدد الذي يلبي $m_1 \times 20 \equiv 1 \pmod{3}$. إذاً، $m_1 \equiv 2 \pmod{3}$.
2. $m_2$ هو العدد الذي يلبي $m_2 \times 15 \equiv 1 \pmod{4}$. إذاً، $m_2 \equiv 3 \pmod{4}$.
3. $m_3$ هو العدد الذي يلبي $m_3 \times 12 \equiv 1 \pmod{5}$. إذاً، $m_3 \equiv 3 \pmod{5}$.

الآن نحسب الحل النهائي:

$x \equiv (1 \times 20 \times 2) + (1 \times 15 \times 3) + (1 \times 12 \times 3) \pmod{60}$

$x \equiv 40 + 45 + 36 \pmod{60}$

$x \equiv 121 \pmod{60}$

$x \equiv 1 \pmod{60}$

إذاً، العدد الصحيح الوحيد الذي يلبي الشروط هو $x = 1$ بحيث $1 < x < 10$. لكن المسألة تفرض أن يكون لديها أكثر من دولار وأقل من 10 دولارات، لذا الإجابة النهائية هي 60 دايمًا.