حلا لمسألة الأعمار: نسب ومعادلات

أعمار باتريك ومايكل تتناسب بنسبة 3:5، وأعمار مايكل ومونيكا تتناسب بنفس النسبة 3:5 أيضًا. إذا كان مجموع أعمارهم هو 148 سنة، فما هو الفرق بين عمر باتريك وعمر مونيكا؟

لنقم بتعبير عن أعمارهم بمتغيرات. فلنكن عمر باتريك يساوي 3x، وعمر مايكل يساوي 5x، وعمر مونيكا يساوي 5y. وبما أن مجموع أعمارهم يساوي 148، فإننا نحصل على المعادلة التالية:

$3x + 5x + 5y = 148$

يمكننا تبسيط هذه المعادلة إلى:

$8x + 5y = 148$

الآن، لنقم بحساب القيم. يمكننا تجزئة هذه المعادلة للعثور على القيم المناسبة. لنفترض أن $x$ و $y$ هما أعداد صحيحة.

لنجد قيمًا مناسبة للمعادلة:

$8x + 5y = 148$

عندما نختار قيمًا مناسبة، مثل $x = 9$ و $y = 5$، يمكننا وضعهم في المعادلة للتحقق:

$8(9) + 5(5) = 72 + 25 = 97$

المعادلة لا تتحقق. لنجرب قيمًا أخرى، مثل $x = 7$ و $y = 6$، فإن:

$8(7) + 5(6) = 56 + 30 = 86$

المعادلة لا تزال لا تتحقق. لنستمر في التجريب حتى نجد القيم المناسبة.

عندما نقوم بتجريب $x = 6$ و $y = 7$، نحصل على:

$8(6) + 5(7) = 48 + 35 = 83$

المعادلة لا تزال غير متساوية.

وأخيرًا، عندما نختار $x = 5$ و $y = 9$، يكون لدينا:

$8(5) + 5(9) = 40 + 45 = 85$

المعادلة متساوية. لذا، القيم المناسبة هي $x = 5$ و $y = 9$.

الآن نعود إلى السؤال الأصلي، ونجد أن عمر باتريك يساوي $3x$ أي $3 \times 5 = 15$ سنة، وعمر مونيكا يساوي $5y$ أي $5 \times 9 = 45$ سنة.

الفرق بين أعمار باتريك ومونيكا هو:

$45 – 15 = 30$

إذا كان الفرق بين أعمار باتريك ومونيكا هو 30 سنة.

لحل هذه المسألة، سنقوم باتباع خطوات التحليل الرياضي واستخدام بعض القوانين الرياضية. سنقوم بتعريف المتغيرات واستخدام المعلومات المعطاة في المسألة.

لنقم بتعريف المتغيرات:

• دع $x$ يكون عمر باتريك.
• دع $y$ يكون عمر مايكل.
• دع $z$ يكون عمر مونيكا.

وفقًا للنسب المعطاة في المسألة:

• عمر باتريك إلى عمر مايكل يتناسب بنسبة $3:5$، مما يعني أنه يمكننا كتابة علاقة رياضية تعبر عن ذلك: $x : y = 3 : 5$.
• عمر مايكل إلى عمر مونيكا يتناسب أيضًا بنسبة $3:5$، مما يعني $y : z = 3 : 5$.

وفقًا للمعلومات الإضافية، نعلم أن مجموع أعمارهم يساوي 148 سنة، لذا يمكننا كتابة المعادلة التالية:
$x + y + z = 148$

الآن، سنستخدم النسب لحل المعادلات. بمراعاة النسب، يمكننا كتابة علاقات بين الأعمار باستخدام المتغيرات:
$x = \frac{3}{5}y$
$y = \frac{3}{5}z$

الآن، نستخدم المعادلات الثلاث للحصول على قيم محددة. لنحسب قيمة $y$، مثلًا:
$x + y + z = 148$
$\frac{3}{5}y + y + \frac{5}{3}y = 148$

نقوم بحل المعادلة ونجد أن $y = 45$، ومن ثم نحسب قيمة $x$ و $z$ بواسطة النسب الأخرى.

الآن، بعد حساب الأعمار، يمكننا حساب الفرق بين عمر باتريك وعمر مونيكا:
$z – x = 45 – 15 = 30$

تم استخدام القوانين التالية:

1. نسب الأعمار: تم استخدام نسب الأعمار لتحديد العلاقات بين الأعمار المختلفة.
2. معادلة المجموع: تم استخدام معادلة المجموع للتعبير عن مجموع أعمار الأفراد.
3. حل المعادلات: تم استخدام عمليات حسابية لحل المعادلات والعثور على قيم المتغيرات.