حلا للمعادلة الرياضية: قوانين الأسس المبسطة (مسألة رياضيات)

المعادلة هي $16^{16}+16^{16}+16^{16}+16^{16}=2^x$.

لحساب قيمة $x$، يمكننا تبسيط المعادلة عن طريق جمع المصادر المتشابهة على الجهتين. نعلم أن $16 = 2^4$، لذا يمكننا استبدال $16^{16}$ بـ $(2^4)^{16}$.

التبسيط:
\begin{align*}
&2^{4 \times 16} + 2^{4 \times 16} + 2^{4 \times 16} + 2^{4 \times 16} = 2^x\
&2^{64} + 2^{64} + 2^{64} + 2^{64} = 2^x
\end{align*}

الآن، نقوم بجمع الأعداد المتشابهة على الجهتين:
$4 \times 2^{64} = 2^x$

بما أننا نعلم أن $2^{64} = 2^{64}$، يمكننا كتابة المعادلة بصورة أكثر تبسيطًا:
$4 \times 2^{64} = 2^{64} \times 2^1$

ومن هنا يمكننا استخدام قاعدة الأسس لجمع الأسس عندما تكون القواعد متساوية:
$4 \times 2^{64} = 2^{64+1}$

لذا، الآن نعلم أن $x = 65$، لأن القوة العظمى للأسس هي 65.

بالطبع، دعونا نوسع على الحل ونشرح الخطوات بالتفصيل.

المعادلة المعطاة هي:
$16^{16} + 16^{16} + 16^{16} + 16^{16} = 2^x$

نبدأ بتبسيط الجهة اليمنى من المعادلة. نعلم أن $16 = 2^4$، لذا يمكننا استبدال $16^{16}$ بـ $(2^4)^{16}$. ذلك يساوي $2^{4 \times 16}$.

التبسيط:
$4 \times 2^{4 \times 16} = 2^x$

هنا، قمنا بجمع المصادر المتشابهة على الجهتين، ونحصل على قاعدة جديدة للأس:
$4 \times 2^{64} = 2^x$

في هذه النقطة، نقوم بتفكيك الأس الذي يحتوي على القاعدة $2^{64}$ إلى $2^{64} \times 2^0$، لأن أي عدد مرفوع للصفر يكون يساوي واحد.

التفكيك:
$4 \times 2^{64} = 2^{64} \times 2^0 \times 2^0 \times 2^0 \times 2^0$

ثم نجمع الأسس:
$4 \times 2^{64} = 2^{64+0+0+0+0}$

وهنا نستخدم قاعدة الأسس لجمع الأسس عندما تكون القواعد متساوية:
$4 \times 2^{64} = 2^{64+1}$

وأخيرًا، نعلم أن $2^{64+1} = 2^{65}$، لذا القيمة المطلوبة لـ $x$ هي 65.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة الأساس والأس: $a^{m \times n} = (a^m)^n$
2. تبسيط القوى نفسها: $a^m \times a^n = a^{m+n}$
3. تفكيك الأس الذي يحتوي على $a^0$: $a^{m+n} = a^m \times a^n \times a^0$
4. قاعدة الأساس والأس عندما تكون القواعد متساوية: $a^m \times a^m = a^{m+m}$