حلا للمعادلات الرباعية بجذور معقدة (مسألة رياضيات)

المطلوب إيجاد معادلة رباعية من صنف الدرجة الثانية (quadratic polynomial)، والتي تكون مونيكة (monic) وتحتوي على معاملات حقيقية، وتكون لها جذر معقد يساوي $1 – i$.

للبداية، نتذكر أن الجذور للمعادلة الرباعية تأخذ شكل $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$. حيث أننا نبحث عن جذر $1 – i$، يمكننا أن نعبّر عنه كالتالي: $1 – i = \frac{-b + \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$. في هذه الحالة، يكون الجزء الحقيقي هو $1$ والجزء الخيالي هو $-i$.

الآن، لنقوم بتجميع المعلومات. نعلم أن $1 – i$ هو جذر للمعادلة، لذا يجب أن يكون الجذر الآخر هو $1 + i$. بما أن المعادلة تحتوي على معاملات حقيقية، فإن الأزواج المرافقة للجذور المعقدة دائمًا متشابهة. لذا إذا كان $1 – i$ هو جذر، فإن $1 + i$ هو الجذر الآخر.

الآن، يمكننا استخدام الجذرين لبناء المعادلة. بما أن الجذرين متشابهين باستثناء العلامة، فإن المعادلة ستكون بالشكل التالي:

$(x – (1 – i))(x – (1 + i)) = 0$

لنقوم بتوسيع هذه المعادلة وحساب المعاملات:

$(x – 1 + i)(x – 1 – i) = 0$

الآن، لنقوم بتوسيع العبارة:

$x^2 – x + ix – x + 1 – i – ix + i^2 = 0$

نعلم أن $i^2 = -1$:

$x^2 – 2x + 2 = 0$

هذه هي المعادلة المطلوبة. المعادلة هي $x^2 – 2x + 2 = 0$، وهي مونيكة (monic) وتحتوي على معاملات حقيقية، ولها $1 – i$ و $1 + i$ كجذرين.

لحل هذه المسألة، سنتبع الخطوات التالية:

1. معرفة الجذور المعقدة:
   لدينا جذر معقد $1 – i$، ونريد أيضاً معرفة الجذر الآخر الذي يكون متشابهاً ما عدا العلامة، وهو $1 + i$. يمكننا تحديدهما كجذور للمعادلة الرباعية.

2. استخدام قاعدة الجمع والطرح:
   قاعدة الجمع والطرح تقول إن إذا كانت $a + bi$ هي جذر لمعادلة، فإن $a – bi$ أيضاً جذر للمعادلة. في حالتنا، إذا كان $1 – i$ جذراً، فإن $1 + i$ أيضاً جذر.

3. بناء المعادلة:
   باستخدام الجذور، نقوم ببناء المعادلة الرباعية. في هذه الحالة، نقوم بضرب العاملين الخارجيين لكل جذر:

   $(x – (1 – i))(x – (1 + i)) = 0$

   ثم نقوم بتوسيع العبارة للحصول على المعادلة الرباعية.

4. توسيع العبارة:
   نستخدم قاعدة الضرب لتوسيع العبارة، مع مراعاة أن $i^2 = -1$.

5. تبسيط المعادلة:
   نقوم بتبسيط المعادلة الموسعة للحصول على المعادلة الرباعية النهائية.

6. التحقق من النتيجة:
   نتحقق من أن المعادلة التي حصلنا عليها تحقق الشروط المطلوبة، وهي أن تكون مونيكة وتحتوي على معاملات حقيقية.

7. الإجابة النهائية:
   نقدم المعادلة الرباعية النهائية كإجابة للمسألة.

القوانين المستخدمة:

• قاعدة الجمع والطرح للجذور المعقدة: إذا كانت $a + bi$ هي جذر لمعادلة، فإن $a – bi$ أيضاً جذر.
• قاعدة الضرب للجذور المعقدة: إذا كانت $x_1$ و $x_2$ هما جذران لمعادلة، فإن المعادلة يمكن كتابتها كـ $(x – x_1)(x – x_2) = 0$.
• قوانين الأعداد المعقدة: $i^2 = -1$.

الآن، دعونا نستعرض الحل بشكل أكثر تفصيلاً:

المعادلة الرباعية: $(x – 1 + i)(x – 1 – i) = 0$

توسيع العبارة:
$x^2 – x + ix – x + 1 – i – ix + i^2 = 0$

تبسيط المعادلة:
$x^2 – 2x + 2 = 0$

إذا كانت المعادلة $x^2 – 2x + 2 = 0$، وهي مونيكة وتحتوي على معاملات حقيقية، ولها $1 – i$ و $1 + i$ كجذرين.