حلا للمعادلات الرباعية باستكمال المربع (مسألة رياضيات)

المعادلة الرباعية التي يمتلكها لولو هي $x^2+bx+44$، حيث $b$ هو عدد إيجابي محدد. باستخدام معرفتها بكيفية استكمال المربع، نجد أنها قادرة على إعادة كتابتها بالشكل $(x+m)^2+8$. الآن سنقوم بحساب قيمة $b$.

نبدأ بمقارنة الشكل القياسي للمعادلة الرباعية $(x+m)^2+8$ مع المعادلة المعطاة $x^2+bx+44$:

$(x+m)^2+8 = x^2+2mx+m^2+8$

نقارن مع المعادلة المعطاة:

$x^2+2mx+m^2+8 = x^2+bx+44$

المقارنة تكون كالتالي:

1. مقارنة معامل $x^2$: $2m = 1$، لذا $m = \frac{1}{2}$.
2. مقارنة معامل $x$: $2m = b$، لذا $b = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.

إذاً، قيمة $b$ هي 1.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكثر وذلك باستخدام قوانين الجبر وتقنيات استكمال المربع. لنبدأ بتحليل المعادلة الرباعية الأصلية:

$x^2 + bx + 44$

1. استخدام تقنية استكمال المربع:
   نقوم بجمع وطرح قيمة الثابت المضاعفة لنصف معامل $x$ مربع:

   $x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 – \left(\frac{b}{2}\right)^2 + 44$

   الهدف هو الوصول إلى شكل كامل للمربع الكامل. لذا نقوم بجمع وطرح القيم:

   $\left(x + \frac{b}{2}\right)^2 – \left(\frac{b}{2}\right)^2 + 44$

2. مقارنة مع المعادلة المعطاة:
   الآن نقوم بمقارنة المعادلة المعطاة $(x+m)^2+8$ بالتعبير الذي حصلنا عليه:

   $\left(x + \frac{b}{2}\right)^2 – \left(\frac{b}{2}\right)^2 + 44 = (x+m)^2 + 8$

   من هنا يتضح لنا أن قيمة $m$ تكون $\frac{b}{2}$.

3. حساب $b$:
   وفقًا للمعادلة السابقة، نجد أن $m = \frac{b}{2}$، لذا $b = 2m$. إذاً، يكون $b = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.

   إذاً، قيمة $b$ هي 1.

تم استخدام القوانين التالية في الحل:

• تقنية استكمال المربع:
  حيث قمنا بتحويل المعادلة الرباعية إلى شكل كامل للمربع الكامل باستخدام استكمال المربع.

• قانون مقارنة مع المعادلة المعطاة:
  قمنا بمقارنة التعبير الحاصل بعد استكمال المربع مع المعادلة المعطاة لتحديد القيم المجهولة.

• قانون الحساب:
  قمنا بحساب قيمة $b$ باستخدام العلاقة بين قيمة $m$ وقيمة $b$.

هذه الخطوات تشكل تفاصيل أكثر للحل، وتوضح كيف قمنا بتطبيق القوانين والتقنيات الرياضية في حل المسألة.