حلا للقسمة: تقنية القسمة الطويلة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي معرفة الناتج عند قسمة $x^5 + 7$ على $x + 1.$

لحل هذه المسألة، نستخدم القسمة الطويلة. نبدأ بتقسيم $x^5$ على $x,$ الذي يُعطينا $x^4.$ ثم نضرب $(x + 1)$ في $x^4$ للحصول على $x^5 + x^4.$ نقوم بطرح هذا الناتج من $x^5 + 7$ للحصول على $x^4 – 1.$

نقوم بتكرار العملية، حيث نقسم $x^4$ على $x,$ مما يُعطينا $x^3.$ نضرب $(x + 1)$ في $x^3$ للحصول على $x^4 + x^3.$ نطرح هذا الناتج من $x^4 – 1$ للحصول على $x^3 + 1.$

نكرر هذه الخطوات حتى نصل إلى الدرجة الصفر، حيث نحصل على باقي ثابت يساوي $-2.$

بالتالي، الناتج هو $x^4 – x^3 + x^2 – x + 1$ والباقي $-2.$

لحل المسألة باستخدام القسمة الطويلة، نقوم بتطبيق القوانين الأساسية للجبر. سنقسم $x^5 + 7$ على $x + 1$ باستخدام الخطوات التالية:

1. نبدأ بتقسيم أعلى قوة لـ $x$ في المقدمة، وهي $x^5,$ على أعلى قوة لـ $x$ في المقام، وهي $x.$ يعطي ذلك $x^4.$

   قانون القسمة: $ \frac{x^5}{x} = x^4$

2. نضرب المقام $(x + 1)$ في الناتج السابق $x^4$ للحصول على $x^5 + x^4.$

   قانون الضرب: $ x^4 \cdot (x + 1) = x^5 + x^4$

3. نقوم بطرح الناتج السابق من $x^5 + 7$ للحصول على باقي. $ (x^5 + 7) – (x^5 + x^4) = -x^4 + 7$

4. نكرر العملية باستخدام الناتج الحالي $-x^4$ ونقسمه على $x,$ مما يعطي $-x^3.$

   قانون القسمة: $ \frac{-x^4}{x} = -x^3$

5. نضرب المقام $(x + 1)$ في الناتج الحالي $-x^3$ للحصول على $-x^4 – x^3.$

   قانون الضرب: $ -x^3 \cdot (x + 1) = -x^4 – x^3$

6. نقوم بطرح الناتج الحالي من الباقي السابق للحصول على باقي جديد. $ (-x^4 + 7) – (-x^4 – x^3) = x^3 + 7$

7. نكرر العملية حتى نصل إلى الدرجة الصفر. يكون الناتج النهائي $x^4 – x^3 + x^2 – x + 1$ والباقي $-2.$

قوانين الجبر المستخدمة:

• قانون القسمة: لتقسيم مضاعف على مضاعف.
• قانون الضرب: لضرب مضاعف في مضاعف.
• قانون الطرح: لطرح مضاعف من مضاعف.
• قانون الجمع: لجمع مضاعف مع مضاعف.

تم استخدام هذه القوانين بشكل متكرر لتحليل وحساب الناتج والباقي في كل خطوة.