حلا لتسلسل الجذور التكراري (مسألة رياضيات)

القيمة المطلوبة للتعبير $\sqrt{2 -!\sqrt{2 – !\sqrt{2 – !\sqrt{2 – \cdots}}}}$ هي 1.

لحل هذه المسألة، نلاحظ أن التعبير يتكرر بشكل لا نهائي. لنقم بتسمية القيمة المطلوبة بـ $x$، وبعد ذلك نستغل هذه التسمية في إيجاد علاقة بين $x$ وجزء من التعبير. لنقم بفك الجذر الذي يظهر داخل الجذر الرئيسي كما يلي:

ثم نستخدم هذه العلاقة لإيجاد قيمة $x$:

الآن، لحل هذه المعادلة نقوم برفع الطرفين إلى الأساس 2 للتخلص من الجذر الخارجي:

ثم نقوم بنقل الجذر إلى الجهة اليمنى:

ثم نرفع الطرفين إلى الأساس 2 مرة أخرى:

نقوم بترتيب الأعضاء وتجميعها في معادلة من الدرجة الرابعة:

الآن، يمكننا أن نستخدم أساليب حل المعادلات الرباعية للعثور على القيمة المطلوبة. في هذه الحالة، يتبين أن القيمة الوحيدة التي تحقق المعادلة هي $x = 1$.

إذاً، القيمة المطلوبة للتعبير هي 1.

لحل هذه المسألة، سنقوم بفحص الهيكل الرياضي للتعبير ونستخدم بعض القوانين الجبرية والخصائص الرياضية. لنبدأ بتسمية القيمة المطلوبة بـ $x$:

$x = \sqrt{2 – \sqrt{2 – \sqrt{2 – \sqrt{2 – \cdots}}}}$

الخطوة الأولى هي إعادة كتابة التعبير بشكل مشابه لتسهيل الفهم. لنقم بتسمية الجزء الداخلي من الجذر الأخير بـ $y$:

$x = \sqrt{2 – \sqrt{2 – \sqrt{2 – \sqrt{2 – \cdots}}}} = \sqrt{2 – y}$

وبما أن $x$ يمثل القيمة الكاملة للتعبير، يمكننا استخدام هذه العلاقة لتعبير عن $y$ أيضًا:

$y = \sqrt{2 – \sqrt{2 – \sqrt{2 – \sqrt{2 – \cdots}}}}$

الآن، سنستخدم العلاقة الأصلية لإيجاد علاقة جديدة لـ $x$:

$x = \sqrt{2 – y}$

ثم نقوم برفع الطرفين إلى الأساس 2:

$x^2 = 2 – y$

ومن ثم نعبر عن $y$ باستخدام التعبير الذي قمنا بتسميته:

$x^2 = 2 – \sqrt{2 – y}$

نقوم بتعويض $y$ بالتعبير السابق الذي حددناه:

$x^2 = 2 – \sqrt{2 – \sqrt{2 – \sqrt{2 – \sqrt{2 – \cdots}}}}$

لكن هذا يماثل العلاقة الأصلية للـ $x$، لذا نستنتج أن:

$x^2 = 2 – x$

الآن، لنحل هذه المعادلة من الدرجة الثانية، نقوم بترتيب الأعضاء وتحديدهم في معادلة:

$x^2 + x – 2 = 0$

التي يمكن حلها باستخدام الصيغة العامة لحلا المعادلات من الدرجة الثانية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث في هذه الحالة، $a = 1$، $b = 1$، و $c = -2$.

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4(1)(-2)}}{2(1)}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2}$

لذا يمكن أن تكون القيمتين:

$x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-1 – 3}{2} = -2$

لكن نعلم أن قيمة $x$ تمثل جذراً إيجابياً، لذا القيمة المناسبة هي $x = 1$.

القوانين والخصائص المستخدمة في الحل تشمل:

1. قاعدة الجذور وخصائصها.
2. استخدام التسميات لتبسيط العلاقات وتوضيح العلاقات بين الأجزاء المختلفة.
3. حل معادلة من الدرجة الثانية باستخدام الصيغة العامة.