حل معادلة لوغاريتمية معقدة (مسألة رياضيات)

المعادلة التي يجب حلها هي:
$\log_5 (x – 2) + \log_{\sqrt{5}} (x^3 – 2) + \log_{\frac{1}{5}} (x – 2) = 4$

للحل هذه المعادلة، نستخدم خاصية اللوغاريتمات ونعمل على تجميع اللوغاريتمات في جهة واحدة.

نبدأ بتطبيق قاعدة اللوغاريتم في ضرب الأسس عند جمع اللوغاريتمات:
$\log_5 (x – 2) + \frac{\log (x^3 – 2)}{\log \sqrt{5}} + \frac{\log (x – 2)}{\log \frac{1}{5}} = 4$

نستخدم قاعدة اللوغاريتم لتبسيط المعادلة. لدينا:
$\frac{\log (x^3 – 2)}{\frac{1}{2} \log 5} + \frac{\log (x – 2)}{\log 5^{-1}} = 4$

نستخدم خاصية اللوغاريتمات في التبسيط لتصبح المعادلة كالتالي:
$2 \log (x^3 – 2) + \log (x – 2) = 4 \log 5$

نستخدم الخاصية الأساسية للوغاريتمات للتبسيط المعادلة، حيث أن:
$\log_a (b^c) = c \log_a b$

نحصل على:
$\log ((x^3 – 2)^2) + \log (x – 2) = \log 5^4$

الآن، نستخدم خاصية اللوغاريتمات في ضرب العوامل لجمع اللوغاريتمات في جهة واحدة، ونحصل على:
$\log ((x^3 – 2)^2 (x – 2)) = \log 625$

الآن، نتخلص من اللوغاريتمات ونكتب المعادلة بشكلها الأصلي:
$(x^3 – 2)^2 (x – 2) = 625$

الآن نحل المعادلة السابقة للحصول على قيمة $x$ الإيجابية.

بعد الحسابات، نجد أن $x = 5$ هو القيمة الإيجابية التي تحقق المعادلة.

إذاً، القيمة الإيجابية لـ $x$ التي تحقق المعادلة هي $x = 5$.

لحل المسألة، سنقوم بتطبيق عدة خطوات وقوانين في مجال اللوغاريتمات والجبر.

1. قاعدة اللوغاريتمات:
   $\log_a (mn) = \log_a m + \log_a n$

2. قاعدة اللوغاريتمات لقسمة الأسس:
   $\log_a \left(\frac{m}{n}\right) = \log_a m – \log_a n$

3. القوانين الأساسية للوغاريتمات:

   • $\log_a (a^b) = b$
   • $\log_a 1 = 0$

4. قاعدة التبديل في اللوغاريتمات:
   $\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}$

5. تطبيق قواعد الجبر لتجميع المصفوفات اللوغاريتمية.

أولاً، نقوم بتطبيق قاعدة اللوغاريتمات لتجميع اللوغاريتمات في جهة واحدة، ثم نستخدم القوانين الأساسية للوغاريتمات لتبسيط المعادلة. بعد ذلك، نحل المعادلة الناتجة باستخدام القواعد الجبرية العادية.

وباستخدام هذه الخطوات والقوانين، نستطيع الوصول إلى الحل الصحيح للمسألة وهو $x = 5$. تم توضيح كل خطوة بتفصيل لفهم كيف تم حل المسألة من البداية حتى النهاية.