حل معادلة لوغاريتمية باستخدام الجبر (مسألة رياضيات)

المعادلة المعطاة هي: $3\log_2 s = \log_2 (3s)$

لحل هذه المعادلة، سنقوم بتطبيق خواص اللوغاريتم والحسابات الجبرية. نبدأ بتجميع معاملات اللوغاريتم:

$3\log_2 s = \log_2 (3s)$

نستخدم خاصية قوانين اللوغاريتم التي تقول: $a\log_b c = \log_b (c^a)$

$\log_2 (s^3) = \log_2 (3s)$

الآن، نستخدم خاصية المساواة بين اللوغاريتمات لنعبّر عن المعادلة:

$s^3 = 3s$

نقوم بترتيب المعادلة للوصول إلى معادلة تربيعية:

$s^3 – 3s = 0$

الآن، نقوم بعاملة $s$ كعامل مشترك:

$s(s^2 – 3) = 0$

لذا، الحلول الممكنة هي $s = 0$ أو $s = \pm\sqrt{3}$.

ومع أن $s = 0$ هو حلاً ممكنًا، إلا أنه لا يتوافق مع اللوغاريتم لأن اللوغاريتم لا يمكن أن يكون معرّفًا للقيم الصفرية. لذا، الحلا النهائي هو $s = \pm\sqrt{3}$.

بالطبع، دعونا نوسع على الحل بمزيد من التفاصيل.

المعادلة الأصلية هي: $3\log_2 s = \log_2 (3s)$

للبداية، نستخدم خاصية اللوغاريتم لتجميع معاملاته، وتطبيق قاعدة قوانين اللوغاريتم: $a\log_b c = \log_b (c^a)$

$\log_2 (s^3) = \log_2 (3s)$

ثم نستخدم خاصية المساواة بين اللوغاريتمات للتعبير عن المعادلة بشكل أبسط:

$s^3 = 3s$

نقوم بترتيب المعادلة للحصول على معادلة تربيعية:

$s^3 – 3s = 0$

الآن، نقوم بتطبيق قاعدة الضرب الجبرية لعامل $s$ كعامل مشترك:

$s(s^2 – 3) = 0$

تُعبّر هذه المعادلة عن حلول محتملة. وبالتالي، يمكن أن يكون $s = 0$ أو $s^2 – 3 = 0$.

لحسن الحظ، $s = 0$ ليس له قيمة صالحة بسبب اللوغاريتم، لذا نركز على الجزء الثاني: $s^2 – 3 = 0$.

نضيف 3 للطرفين:

$s^2 = 3$

ثم نستخدم جذر الطرفين:

$s = \pm\sqrt{3}$

إذاً، الحلول النهائية للمعادلة الأصلية هي $s = \pm\sqrt{3}$.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة قوانين اللوغاريتم: $a\log_b c = \log_b (c^a)$
2. خاصية المساواة بين اللوغاريتمات: إذا كانت $\log_b a = \log_b c$، فإن $a = c$.
3. قاعدة الضرب الجبرية: إذا كانت $ab = 0$، فإنه يمكن أن يكون أحد العوامل يساوي 0.