حل معادلة رياضية: قيمة x x x الصغرى (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: ما هو أصغر قيمة لـ $x$ التي تحقق المعادلة $x|x| = 2x+1$؟

لحل هذه المعادلة، يمكننا القيام بعدة خطوات:

أولاً، نرتب المعادلة للبحث عن القيم المحتملة لـ $x$:

$x|x| = 2x + 1$

ثانياً، نقوم بتحديد الحالات حسب قيمة $x$ و $|x|$:

1. عندما $x \geq 0$، فإن $|x| = x$، لذا يصبح المعادلة:
   $x^2 = 2x + 1$
   $x^2 – 2x – 1 = 0$

2. عندما $x < 0$، فإن $|x| = -x$، لذا يصبح المعادلة:
   $-x^2 = 2x + 1$
   $x^2 + 2x + 1 = 0$

الآن، نقوم بحل المعادلتين المربعتين باستخدام العملية المعتادة لحل المعادلات التربيعية، والتي تكون كالتالي:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

للمعادلة $ax^2 + bx + c = 0$.

لكن هنا، سنستخدم القيم الموجبة لـ $x$، حيث أن القيم الموجبة ستكون أصغر الحلول للمعادلة الأصلية.

للمعادلة $x^2 – 2x – 1 = 0$:
$x = \frac{2 + \sqrt{(-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1}$
$x = \frac{2 + \sqrt{4 + 4}}{2}$
$x = \frac{2 + \sqrt{8}}{2}$
$x = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2}$
$x = 1 + \sqrt{2}$

للمعادلة $x^2 + 2x + 1 = 0$:
$x = \frac{-2 + \sqrt{(-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$
$x = \frac{-2 + \sqrt{4 – 4}}{2}$
$x = \frac{-2 + \sqrt{0}}{2}$
$x = \frac{-2}{2}$
$x = -1$

الآن، يجب أن نختار القيمة الأصغر من بين القيم المحسوبة، وهي $x = -1$، حيث أنها تتوافق مع شرط $x < 0$، وتحقق المعادلة الأصلية $x|x| = 2x+1$. لذا، القيمة الصحيحة لـ $x$ هي $-1$.

لحل المسألة الرياضية $x|x| = 2x+1$ وإيجاد أصغر قيمة ممكنة لـ $x$، نحتاج إلى استخدام عدة خطوات وقوانين رياضية:

1. قانون القيم المطلقة (Absolute Value Law): في الرياضيات، قيمة مطلقة لعدد حقيقي $x$، ممثلة بـ $|x|$، هي المسافة بين $x$ والصفر على المحور العددي. يعبر عنها بالصيغة التالية:
   $|x| = \begin{cases} x, & \text{if } x \geq 0 \\ -x, & \text{if } x < 0 \end{cases}$

2. تحليل الحالات (Case Analysis): في هذه المسألة، نقوم بتحليل الحالات بناءً على قيمة $x$ إذا كانت موجبة أو سالبة.

بناءً على الخطوات المذكورة، نقوم بالتالي:

• عندما $x \geq 0$، فإن $|x| = x$، والمعادلة تصبح $x^2 = 2x + 1$.
• عندما $x < 0$، فإن $|x| = -x$، والمعادلة تصبح $-x^2 = 2x + 1$.

ثم نقوم بحل المعادلتين المربعتين بطريقة عامة باستخدام العملية المعروفة لحل المعادلات التربيعية.

لحل المعادلة $x^2 = 2x + 1$، نقوم بتطبيق الصيغة العامة للجذر التربيعي:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث أن $a = 1$، $b = -2$، و $c = -1$.

لحل المعادلة $-x^2 = 2x + 1$، نقوم بنفس العملية.

بعد ذلك، نحسب القيم الممكنة لـ $x$ بتطبيق الصيغة ونختار القيمة الأصغر من بين الحلول التي تحقق الشرط $x|x| = 2x+1$ وتتناسب مع الحالة المناسبة.

باستخدام هذه الطرق والقوانين الرياضية المذكورة، نحل المسألة ونحدد القيمة الصحيحة لـ $x$، التي هي الحل الأمثل للمعادلة المعطاة.