حل معادلة رياضية بالقوانين الجبرية (مسألة رياضيات)

المعادلة التي نحتاج إلى حلها هي:

$3 \cdot 3^t + \sqrt{9 \cdot 9^t} = 18$

نبدأ بحل المعادلة خطوة بخطوة.

أولاً، لنبسط التعبير $\sqrt{9 \cdot 9^t}$. نعلم أن $9 = 3^2$، لذا:

$\sqrt{9 \cdot 9^t} = \sqrt{(3^2) \cdot (3^t)} = \sqrt{3^{2+t}}$

الجذر التربيعي يلغي الأس ويصبح:

$\sqrt{3^{2+t}} = 3^{\frac{2+t}{2}}$

الآن نستخدم هذا التبسيط للتعبير الموجود في المعادلة:

$3 \cdot 3^t + 3^{\frac{2+t}{2}} = 18$

الآن نجمع جميع الأعضاء التي تحتوي على أساس واحد، ونلاحظ أن $3^t$ هو نفسها، لذا يمكننا جمعهما:

$3^t (3 + 1) + 3^{\frac{2+t}{2}} = 18$

الآن يمكننا بسط التعبير في الأس:

$4 \cdot 3^t + 3^{\frac{2+t}{2}} = 18$

الآن نقوم بطرح 4 من الجانبين للحصول على تعبير منفصل للقوة الجديدة:

$3^{\frac{2+t}{2}} = 18 – 4 \cdot 3^t$

الآن نريد التخلص من الأس في الجهة اليسرى، لذا نريد رفع الطرفين إلى القوة $2$:

$(3^{\frac{2+t}{2}})^2 = (18 – 4 \cdot 3^t)^2$

$3^{2+t} = (18 – 4 \cdot 3^t)^2$

الآن نعبر عن $3^{2+t}$ بصورة أخرى:

$3^{2+t} = 3^2 \cdot 3^t = 9 \cdot 3^t$

وبذلك تصبح المعادلة كالتالي:

$9 \cdot 3^t = (18 – 4 \cdot 3^t)^2$

الآن يمكننا فتح العبارة $(18 – 4 \cdot 3^t)^2$ بطريقة التوسيع:

$9 \cdot 3^t = (18 – 4 \cdot 3^t) \cdot (18 – 4 \cdot 3^t)$

الآن نضرب الجزء الأول من العبارة في الجزء الثاني، مع مراعاة استخدام قاعدة توزيع الضرب:

$9 \cdot 3^t = (18 \cdot 18) – (18 \cdot 4 \cdot 3^t) – (18 \cdot 4 \cdot 3^t) + (4 \cdot 3^t) \cdot (4 \cdot 3^t)$

بتبسيط المعادلة، نحصل على:

$9 \cdot 3^t = 324 – 144 \cdot 3^t – 144 \cdot 3^t + 16 \cdot 9^t$

الآن نجمع الأعضاء المماثلة:

$9 \cdot 3^t = 324 – 288 \cdot 3^t + 16 \cdot 9^t$

نقوم بترتيب المعادلة بحيث يكون الجزء الأيمن على شكل مربع مثل الجزء الأيسر:

$0 = 324 – 288 \cdot 3^t – 9 \cdot 3^t + 16 \cdot 9^t$

$0 = 324 – 297 \cdot 3^t + 16 \cdot 9^t$

الآن المعادلة موجودة على شكلها القياسي للمعادلات ذات القوى، ويمكن حلها بالتعامل معها كمعادلة من الدرجة الثانية في $3^t$، حيث أن $9^t = (3^t)^2$.

الآن نعمل استبدال لتسهيل الحل:

$x = 3^t$

بذلك تصبح المعادلة:

$0 = 324 – 297x + 16x^2$

نقوم بترتيب المعادلة لتكون في صيغة المعادلة الثانية:

$16x^2 – 297x + 324 = 0$

الآن يمكننا حل هذه المعادلة بواسطة الطريقة المعتادة لحل المعادلات الثانوية، سواء بالتفكيك أو باستخدام الصيغة التالية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 16$، $b = -297$، و $c = 324$.

بعد حساب القيم، سنحصل على قيم محتملة لـ $x$، وبمجرد حساب $x$ يمكننا العودة لحساب قيمة $t$ بواسطة العلاقة (t = \log_3(x)\

حل المسألة الرياضية التي تحتوي على المعادلة:
$3 \cdot 3^t + \sqrt{9 \cdot 9^t} = 18$

يتطلب استخدام عدة خطوات رياضية وتطبيق قوانين الجبر والأسس الرياضية. سنستعرض الخطوات بالتفصيل ونذكر القوانين المستخدمة في كل خطوة:

1. تبسيط الجذر التربيعي:
   قوانين الأسس الرياضية تقول إن $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. لذا، نستخدم هذه القاعدة لتبسيط الجذر التربيعي $\sqrt{9 \cdot 9^t}$ إلى $9^{\frac{1}{2}} \cdot 9^{\frac{t}{2}} = 3 \cdot 3^t$.

2. توحيد الأساس:
   نستخدم قاعدة الأسس الرياضية لتجميع الأعضاء التي لها نفس الأساس. في هذه المرحلة، نجمع $3 \cdot 3^t$ مع $3 \cdot 3^t$ للحصول على $4 \cdot 3^t$.

3. حل المعادلة:
   نقوم بتطبيق قاعدة حل المعادلات الرياضية، حيث نقوم بتحويل المعادلة الأصلية إلى معادلة أخرى تسهل حساب الحلول. في هذه الحالة، قمنا بتبديل المتغير $3^t$ بمتغير آخر مثلاً $x$ لتحويل المعادلة إلى معادلة من الدرجة الثانية.

4. حل المعادلة الثانوية:
   لحل المعادلة الثانوية $16x^2 – 297x + 324 = 0$, نستخدم الصيغة العامة لحل المعادلة الثانوية:
   $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$
   حيث $a = 16$, $b = -297$, و $c = 324$.

5. حساب قيمة $x$ وبالتالي $3^t$:
   بعد حساب قيم $x$, نعود للمتغير الأصلي $3^t$ بواسطة العلاقة $3^t = x$.

6. حساب القيمة النهائية لـ $t$:
   بعد الحصول على قيم $3^t$, نقوم بحساب القيمة النهائية لـ $t$ باستخدام اللوغاريتم الطبيعي أو اللوغاريتم قاعدة 3.

بهذه الخطوات واستخدام القوانين المذكورة أعلاه، يمكن حل المسألة الرياضية المعطاة والوصول إلى القيمة الصحيحة لـ $t$.