حل معادلة رياضية بأسلوب تحليلي (مسألة رياضيات)

المطلوب إيجاد الزوج المرتب $(m، n)$ حيث $m، n$ هما أعداد صحيحة إيجابية تحقق المعادلة التالية:
$14mn = 55 – 7m – 2n$

لحل هذه المعادلة، نقوم بترتيبها وجمع الأعضاء المتشابهة للوصول إلى تعبير أكثر بساطة:
$14mn + 7m + 2n = 55$

نرى أن هذه المعادلة تشبه معادلة الزوجية، ولنجعلها بهذا الشكل نقوم بإضافة $14$ من الطرفين:
$14mn + 7m + 2n + 14 = 69$

الآن نحاول تفكيك الطرف الأيسر باستخدام تجزئة الزوجية:
$(2n + 7)(7m + 2) = 69$

نبحث عن العوامل التي تكون حاصل ضربها يعطينا $69$. نعلم أن $69$ يمكن تفكيكها كما يلي: $1 \times 69$، $3 \times 23$، و $69 \times 1$. ولكن إذا نلاحظ أن العاملين $2n + 7$ و $7m + 2$ يحتويان على أعداد فردية وزوجية بالترتيب، يجب أن نختار الفارق الأصغر بين هذين العاملين. لذا، نختار $3 \times 23$.

$2n + 7 = 3 \implies 2n = -4 \implies n = -2$

$7m + 2 = 23 \implies 7m = 21 \implies m = 3$

إذاً، الحلاول للمعادلة هي $(m، n) = (3، -2)$.

لنقم بحل المعادلة الرياضية المعطاة:
$14mn + 7m + 2n = 55$

أولاً، لنقم بجمع الأعضاء المتشابهة لتبسيط المعادلة:
$14mn + 7m + 2n + 14 = 69$

والآن، نحاول تفكيك الطرف الأيسر باستخدام تجزئة الزوجية:
$(2n + 7)(7m + 2) = 69$

نعلم أن $69$ يمكن تفكيكها إلى عواملها الأولية كما يلي: $1 \times 69$، $3 \times 23$، و $69 \times 1$. لكننا نلاحظ أن العاملين $2n + 7$ و $7m + 2$ يحتويان على أعداد فردية وزوجية بالترتيب. لذا، نختار الفارق الأصغر بين العوامل، وهو $3 \times 23$.

إذاً، لدينا:
$2n + 7 = 3 \implies 2n = -4 \implies n = -2$

$7m + 2 = 23 \implies 7m = 21 \implies m = 3$

لذا، الحل الوحيد للمعادلة هو $(m، n) = (3، -2)$.

القوانين المستخدمة في هذا الحل هي:

1. قانون التجزئة الزوجية: استخدمناه لتحويل المعادلة الأصلية إلى معادلة زوجية.
2. تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية: استخدمناه لتحليل الرقم $69$ إلى عوامله الأولية واختيار العاملين المناسبين.
3. حل المعادلات البسيطة: استخدمناه لحساب قيمة $m$ و $n$ بعد تجزئة الزوجية.

يجدر بالذكر أن استخدام هذه القوانين يتطلب مهارات في الجبر وفهم جيد لخصائص الأعداد.