حل معادلة رباعية بالجبر (مسألة رياضيات)

المعادلة: $-x^2 = \frac{3x+1}{x+3}$

حل المعادلة:
لنبدأ بضرب كلا الجانبين في $x + 3$ لتخلصنا من المقام في الجهة اليمنى:
$(-x^2)(x + 3) = 3x + 1$

نقوم بتوزيع الضرب:
$-x^3 – 3x^2 = 3x + 1$

نقوم بإعادة جمع كل المصطلحات في الجانب الأيسر من المعادلة:
$-x^3 – 3x^2 – 3x – 1 = 0$

الآن نريد أن نجد الجذور (الحلول) لهذه المعادلة من الدرجة الثالثة. يمكننا استخدام أسلوب حلول المعادلات الكبيرة.

لكننا هنا سنستخدم طريقة التقسيم للعثور على جذر ثابت للمعادلة. يبدأ العثور على الجذر الثابت بتجريب القيم المحتملة للجذر الثابت باستخدام قاعدة التقسيم.

نقوم بتجريب الأعداد من -5 إلى 5 لنجد الجذر:
$f(r) = -r^3 – 3r^2 – 3r – 1$

عند تجريب الأعداد، سنجد أن $r = -1$ هو الجذر الثابت للمعادلة.

باستخدام القسمة الصناعية، نقسم المعادلة على $(x + 1)$ للحصول على المتعامدات:
$-x^3 – 3x^2 – 3x – 1 = (x + 1)(-x^2 – 4x – 1)$

الآن، لنحل المتعامدة من الدرجة الثانية $(-x^2 – 4x – 1 = 0)$ باستخدام طريقة حل المعادلات من الدرجة الثانية. نستخدم الصيغة العامة $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$.

لدينا:
$a = -1, b = -4, c = -1$

نستخدم الصيغة العامة:
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 – 4(-1)(-1)}}{2(-1)}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 4}}{-2}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{-2}$
$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{-2}$
$x = -2 \pm \sqrt{5}$

الحلول للمعادلة الأصلية هي: $x = -1, -2 + \sqrt{5}, -2 – \sqrt{5}$

لحل المسألة المعطاة، سنقوم بخطوات متتالية لحل المعادلة الرباعية. نستخدم في الحل قوانين الجبر وحساب الجذور لإيجاد الحلول.

1. ضرب كلا الجانبين في $x + 3$:
   نقوم بضرب الجانب الأيسر والجانب الأيمن من المعادلة في $x + 3$ للتخلص من المقام في الجهة اليمنى.

2. توزيع الضرب:
   بعد الضرب، نقوم بتوزيع $x + 3$ على كلا الأطراف للحصول على معادلة بشكل متكامل.

3. تجميع المصطلحات:
   نقوم بجمع جميع المصطلحات في الجانب الأيسر من المعادلة للحصول على معادلة من الدرجة الثالثة.

4. استخدام قاعدة التقسيم:
   نقوم بتجريب الأعداد للعثور على الجذر الثابت للمعادلة، وهو خطوة مهمة في العثور على الجذور الحقيقية للمعادلة.

5. القسمة الصناعية:
   باستخدام الجذر الثابت الذي تم العثور عليه، نقوم بالقسمة الصناعية للمعادلة للحصول على متعامدات أقل درجة.

6. حل المتعامدات:
   نقوم بحل المتعامدات باستخدام الصيغة العامة للحلول للمعادلات من الدرجة الثانية.

7. التحقق من الحلول:
   نقوم بالتحقق من الحلول عن طريق إدخالها مرة أخرى في المعادلة الأصلية للتأكد من صحتها.

8. تقديم الحلول:
   بعد التحقق من صحة الحلول، نقوم بتقديم الحلول بشكل منظم ومفصل.

القوانين المستخدمة تشمل:

• قوانين الضرب والقسمة في الجبر.
• قوانين توزيع الضرب.
• قاعدة التقسيم والبحث عن الجذور.
• صيغة حل المتعامدات للمعادلات من الدرجة الثانية.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، يمكننا حل المعادلة المعطاة والعثور على جميع الحلول بدقة وفعالية.