حل معادلة دالة بمتغير مجهول (مسألة رياضيات)

الدالة $f(x)$ تستوفي المعادلة
$f(x) – X f \left( \frac{1}{x} \right) = 4^x$
لكل $x \neq 0$. نريد حساب قيمة $f(2)$ والتي تساوي 3. الهدف هو إيجاد قيمة المتغير المجهول $X$.

لنقم بتبديل القيمة $x$ بـ $\frac{1}{x}$ في المعادلة المعطاة:
$f \left( \frac{1}{x} \right) – X f(x) = 4^{\frac{1}{x}}$

الآن سنقوم بضرب المعادلتين معًا للتخلص من $f(x)$ و $f \left( \frac{1}{x} \right)$:

$(f(x) – X f \left( \frac{1}{x} \right)) (f(x) + X f \left( \frac{1}{x} \right)) = 4^x \cdot 4^{\frac{1}{x}}$

$(f(x))^2 – (X^2)(f \left( \frac{1}{x} \right))^2 = 4^x \cdot 4^{\frac{1}{x}}$

وبما أننا نعرف $f(x) – X f \left( \frac{1}{x} \right) = 4^x$، فإننا يمكننا استبداله في المعادلة السابقة:

$(4^x)^2 – (X^2)(4^x)^2 = 4^x \cdot 4^{\frac{1}{x}}$

$16^x – (X^2)(16^x) = 4^x \cdot 4^{\frac{1}{x}}$

الآن، نحتاج إلى تحديد قيمة $X$. ووفقًا للمعطيات، $f(2) = 3$، لذا نستخدم هذه المعلومة للحصول على قيمة $X$.

نلاحظ أن $2 = 2^1$، لذا عند تطبيق $x = 1$ في المعادلة الأصلية، نحصل على:
$f(1) – X f(1) = 4^1$
$f(1) – X f(1) = 4$
$f(1) – 3X = 4$
$f(1) = 4 + 3X$

لكننا نعرف أن $f(1) = 3$، لذا:
$3 = 4 + 3X$
$X = \frac{3 – 4}{3} = -\frac{1}{3}$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي $-\frac{1}{3}$.

لحل المسألة المعطاة وتحديد قيمة المتغير $X$، نحتاج إلى استخدام القوانين الأساسية للجبر والتعبيرات الرياضية. هذه القوانين تشمل:

1. خاصية استبدال القيمة: يمكننا استبدال قيمة $x$ بقيمة $\frac{1}{x}$ في المعادلة الأصلية.
2. خاصية الضرب: يمكننا ضرب المعادلة الأصلية في نفسها بعد استبدال $x$ بـ $\frac{1}{x}$ للتخلص من $f(x)$ و $f \left( \frac{1}{x} \right)$.
3. القوانين الأساسية للأسس: نستخدم قوانين الأسس مثل $a^m \times a^n = a^{m+n}$ لتبسيط التعبيرات.
4. حل المعادلات الخطية: نستخدم هذه القاعدة لحل المعادلة التي تحتوي على المتغير $X$.

باستخدام هذه القوانين، نقوم بتحليل وتبسيط المعادلات المعطاة واستخدام المعلومات المعطاة لحساب القيم المجهولة. في هذه الحالة، نحن نستفيد من معلومة $f(2) = 3$ لحساب قيمة $X$ من خلال تطبيق الدالة على القيمة $x = 1$.

باستخدام هذه القوانين والإجراءات، نستطيع حل المسألة وتحديد القيم المطلوبة بدقة.