حل معادلة دائرة رياضيا: المركز والقطر (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تتناول البحث عن مركز الدائرة التي يتم تمثيلها بمعادلة رياضية. يتم توجيه السؤال نحو معرفة موقع المركز لهذه الدائرة التي يُمثلها التالي: $x^2 – 6x + y^2 + 2y = 9$.

للعثور على المركز، يمكننا إجراء تكميل الكامل للمتغيرات x و y في المعادلة. لنقم بذلك، نقوم بإضافة وطرح القيم المناسبة لاستكمال المربع التام:

الآن، بعد إكمال المربع التام، نجد أن المعادلة أصبحت بصيغة الدائرة القياسية $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$ حيث $(h, k)$ هي إحداثيات المركز، و $r$ هو نصف القطر.

من المعادلة المكتملة، يمكننا مقارنة الأجزاء المتشابهة لنجد أن المركز $(h, k)$ هو $(3, -1)$، ونصف القطر $r$ هو $\sqrt{18}$.

بهذا الشكل، تم العثور على معلومات المركز ونصف القطر للدائرة بناءً على المعادلة المعطاة.

تتعامل هذه المسألة مع العثور على مركز ونصف قطر دائرة محددة بواسطة معادلة رياضية. نستخدم عدة خطوات لتحقيق ذلك.

المعادلة المعطاة هي: $x^2 – 6x + y^2 + 2y = 9$

1. إكمال المربع التام:
   نقوم بإضافة وطرح القيم المناسبة لاستكمال المربع التام لكل من $x$ و $y$. هذا يُجرى لتحويل المعادلة إلى صيغة الدائرة القياسية.

   $$\begin{align*} x^2 – 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 &= 9 + 9 \\ (x – 3)^2 + (y + 1)^2 &= 18 \end{align*}$$

2. مقارنة الصيغ:
   نقوم بمقارنة المعادلة بالصيغة القياسية لدائرة $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$ للعثور على إحداثيات المركز $(h, k)$ ونصف القطر $r$.

   من المعادلة المكتملة، نجد أن المركز $(h, k)$ هو $(3, -1)$، ونصف القطر $r$ هو $\sqrt{18}$.

3. القوانين المستخدمة:

   • تكميل المربع التام: نستخدم هذه الخطوة لتحويل المعادلة إلى صيغة قياسية تمثل دائرة.
   • صيغة الدائرة القياسية: $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$ حيث $(h, k)$ هي إحداثيات المركز، و $r$ هو نصف القطر.
   • المقارنة بين الصيغ: نستخدم هذه الخطوة للتحقق من أن المعادلة تمثل دائرة وللعثور على المركز ونصف القطر.

بهذه الطريقة، تم استخدام مفاهيم الرياضيات مثل تكميل المربع التام وصيغة الدائرة القياسية لحل المسألة.