حل معادلة ثانوية بالجذور التربيعية (مسألة رياضيات)

المطلوب: حساب مجموع جميع قيم $z$ التي تحقق المعادلة $z^2 = 12z – 7$.

الحل:

لحل هذه المعادلة، سنقوم بتجميع جميع المصطلحات في جانب واحد من المعادلة للحصول على معادلة من الدرجة الثانية:

$z^2 – 12z + 7 = 0$

الآن، لحل هذه المعادلة، يمكننا استخدام القانون العام لحساب الجذرين، والذي يعطينا:

$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث أن $a = 1$، $b = -12$، و $c = 7$.

باستخدام قيم العوامل في المعادلة، نحسب القيمة التي تحت الجذر:

$b^2 – 4ac = (-12)^2 – 4 \times 1 \times 7 = 144 – 28 = 116$

الآن، نحسب الجذر التربيعي لهذه القيمة:

$\sqrt{116} \approx 10.77$

الآن، نحسب القيمتين لـ $z$ باستخدام الصيغة العامة:

$z_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{116}}{2 \times 1} = \frac{12 + 10.77}{2} \approx \frac{22.77}{2} \approx 11.385$

$z_2 = \frac{-(-12) – \sqrt{116}}{2 \times 1} = \frac{12 – 10.77}{2} \approx \frac{1.23}{2} \approx 0.615$

الآن، وبما أن المطلوب هو حساب مجموع جميع القيم الممكنة لـ $z$، فإننا نجمع القيمتين:

$11.385 + 0.615 = 12$

إذاً، المجموع النهائي لجميع قيم $z$ التي تحقق المعادلة هو $12$.

لحل مسألة $z^2 = 12z – 7$ وحساب مجموع القيم الممكنة لـ $z$، نحتاج إلى استخدام مجموعة من الخطوات الرياضية والقوانين المتعلقة بحساب المعادلات الثانوية. إليك الخطوات بالتفصيل:

1. ترتيب المعادلة:
   نقوم بتجميع جميع المصطلحات في معادلتنا في جانب واحد للحصول على معادلة من الدرجة الثانية بالشكل التالي:
   $z^2 – 12z + 7 = 0$

2. استخدام قوانين الجذور التربيعية:
   نستخدم القانون العام لحساب الجذور التربيعية لحل المعادلة الثانوية:
   إذا كانت المعادلة بالصورة $ax^2 + bx + c = 0$، فإن الجذرين يمكن حسابهما بالصيغة:
   $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

3. حساب القيم التي تحت الجذر:
   نقوم بحساب قيمة التعبير $b^2 – 4ac$، وهو جزء من الصيغة العامة، حيث:

   • $a = 1$
   • $b = -12$
   • $c = 7$
     قيمة $b^2 – 4ac$ تساوي:
     $(-12)^2 – 4 \times 1 \times 7 = 144 – 28 = 116$

4. حساب الجذور التربيعية:
   نحسب القيمة التربيعية للتعبير $b^2 – 4ac$:
   $\sqrt{116} \approx 10.77$

5. حساب القيم الممكنة لـ $z$:
   نستخدم الصيغة العامة لحساب الجذرين للحصول على القيم الممكنة لـ $z$:

   • $z_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{116}}{2 \times 1} \approx 11.385$
   • $z_2 = \frac{-(-12) – \sqrt{116}}{2 \times 1} \approx 0.615$

6. حساب المجموع:
   نقوم بجمع القيمتين الممكنتين لـ $z$ للحصول على المجموع النهائي:
   $11.385 + 0.615 = 12$

بهذا، نكون قد حللنا المسألة وحسبنا مجموع القيم الممكنة لـ $z$ الذي يحقق المعادلة $z^2 = 12z – 7$ باستخدام القوانين الرياضية المتعلقة بحساب المعادلات الثانوية والجذور التربيعية.