حل معادلة تربيعية وتحليل المنحنى (مسألة رياضيات)

المعادلة التربيعية بالصيغة العامة $y=ax^2+bx+c$ مُرسومة في الرسم البياني أعلاه. النقطة التي تمثل قمة القوس تُعرف بالتقاء الأفقي والرأسي للقوس، وهي نقطة $(h, k)$ حيث $h$ هو إحداثي $x$ للقمة، و $k$ هو إحداثي $y$ للقمة. في هذه الحالة، القمة هي $(2,-4)$.

نعلم أيضًا أن الصيغة القياسية للمعادلة التربيعية هي $y=a(x-h)^2+k$ حيث $(h, k)$ هي القمة. في هذه الحالة، نقوم بتحليل المعادلة المعطاة $y=4(x-2)^2-4$. يظهر أنها تمتلك قمة في $(2,-4)$ وعامل التضاعف $a$ هو $4$.

الأصفار لمعادلة من هذا النوع هي القيم للتي تجعل $y$ تكون صفر. لذلك، نحل المعادلة $4(x-2)^2-4=0$ لنجد الأصفار. يتبين أنه عندما نقوم بحساب ذلك، نحصل على:

\begin{align*}
4(x-2)^2-4 &= 0 \
(x-2)^2 &= 1 \
x-2 &= \pm 1 \
x &= 3 \quad \text{أو} \quad x = 1
\end{align*}

لكننا نعلم أن $m$ هو القيمة الأكبر من بين $m$ و $n$، لذلك $m=3$ و $n=1$. لذا، الفارق بينهما هو $m-n=3-1=2$.

نظرًا لأن المسألة تتعلق بحل معادلة تربيعية، يمكننا استخدام عدة خطوات للتحليل والعثور على الأصفار والإجابة على السؤال المطلوب. إليك تفاصيل أكثر لحل المسألة:

المعادلة المعطاة: $y = 4(x-2)^2 – 4$

1. تحديد القمة:
   نلاحظ أن المعادلة بالفعل في الصيغة القياسية $y=a(x-h)^2+k$، حيث $(h, k)$ هي القمة. في هذه الحالة، القمة هي $(2, -4)$ حيث $h=2$ و $k=-4$.

2. العثور على الأصفار:
   نقوم بوضع $y$ مساويًا لصفر وحل المعادلة:
   \begin{align*}
   4(x-2)^2 – 4 &= 0 \
   (x-2)^2 &= 1 \
   x-2 &= \pm 1 \
   x &= 3 \quad \text{أو} \quad x = 1
   \end{align*}
   لكننا نعلم أن القيمة الأكبر تمثل $m$ والقيمة الأصغر تمثل $n$، لذا $m=3$ و $n=1$.

3. حساب الفارق بين $m$ و $n$:
   \begin{align*}
   m – n &= 3 – 1 \
   &= 2
   \end{align*}

بهذه الطريقة، قمنا بحل المسألة بتحليل المعادلة التربيعية واستخدام القوانين التالية:

• صيغة القوس العامة: $y=ax^2+bx+c$.
• صيغة القوس القياسية: $y=a(x-h)^2+k$ حيث $(h, k)$ هي القمة.
• حل المعادلة التربيعية: استخدام تقنيات حل المعادلات التربيعية للعثور على الأصفار.
• تحديد القمة: القمة هي نقطة الأدنى أو الأعلى في القوس، ويمكن تحديدها باستخدام صيغة القوس القياسية.
• تحديد الفارق بين الأصفار: في هذه الحالة، كان علينا مقارنة القيم وتحديد الفارق بينها.

تمثل هذه القوانين والتقنيات جزءًا من الرياضيات والجبر وتستخدم لفهم وتحليل المعادلات التربيعية والمنحنيات الرياضية.