حل معادلة تربيعية بجذور متوسطة (مسألة رياضيات)

المعادلة التي علينا حلها هي $x^3 + 3x^2 – 10x = 0$. لحل هذه المعادلة، يمكننا أولاً أن نقوم بعامل مشترك من الطاقة x من كل مصطلح في المعادلة:
$x(x^2 + 3x – 10) = 0$
الآن، يمكننا أن نحل المعادلة عن طريق فصلها إلى ثلاثة معادلات فرعية:

1. $x = 0$
2. $x^2 + 3x – 10 = 0$

لحل المعادلة الثانية ($x^2 + 3x – 10 = 0$)، يمكننا استخدام طريقة حل المعادلة التربيعية أو استخدام الجذر التربيعي:
$x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$

حيث $a = 1$, $b = 3$, و $c = -10$. وبعد التعويض، نحصل على:
$x = \frac{{-3 \pm \sqrt{{3^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}}}{{2 \cdot 1}}$
$x = \frac{{-3 \pm \sqrt{{9 + 40}}}}{{2}}$
$x = \frac{{-3 \pm \sqrt{{49}}}}{{2}}$
$x = \frac{{-3 \pm 7}}{{2}}$

بالتالي، لدينا اثنين من الحلول:

1. $x_1 = \frac{{-3 + 7}}{{2}} = 2$
2. $x_2 = \frac{{-3 – 7}}{{2}} = -5$

لذلك، حلول المعادلة الأصلية هي $x = 0$ و $x = 2$ و $x = -5$.

الآن، لحساب المتوسط، نقوم بجمع كل الحلول ونقسم على عددها. إذاً:
$المتوسط = \frac{{0 + 2 + (-5)}}{3} = \frac{{-3}}{3} = -1$

لذا، المتوسط لجميع الحلول هو -1.

لحل المسألة المعطاة، نبدأ باستخدام القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر وحل المعادلات:

1. عامل مشترك: نبدأ بتطبيق عامل مشترك، وهو في هذه الحالة العامل المشترك للطاقة $x$.
   يتيح لنا ذلك فصل المعادلة إلى عوامل فردية، وهو خطوة هامة في حل المعادلات الجبرية.

2. قانون حل المعادلة التربيعية: عندما نواجه المعادلة $ax^2 + bx + c = 0$، يمكن حلها باستخدام الصيغة:
   $x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$
   وهذا يستند إلى القوانين المثبتة في الرياضيات.

3. جذور المعادلة التربيعية: المعادلة التربيعية تعطينا جذرين، وقد يكونا حقيقيين أو مركبين.

الآن، بعد أن حصلنا على الجذور $x_1 = 2$ و $x_2 = -5$ و $x_3 = 0$، نقوم بحساب المتوسط الحسابي لهذه الجذور. هذا يستخدم قاعدة بسيطة في الحساب:

$\text{المتوسط} = \frac{{\text{مجموع الأعداد}}}{{\text{عددها}}}$

حيث نجمع جميع الأعداد (الجذور) ونقسم على عددها. في هذه الحالة، هذا النهج يعطينا المتوسط للجذور.

بمجرد تطبيق هذه الخطوات والقوانين، نصل إلى المتوسط الذي هو -1.

هذه الخطوات والقوانين الرياضية توجه الحل بطريقة منطقية ودقيقة، وتضمن الحصول على الإجابة الصحيحة بدقة.