حل معادلة المطلق: مثال وتفسير (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: ما هو الفرق الإيجابي بين الحلين للمعادلة $|x + 5| = 20$؟

حل المسألة:
لحل المعادلة $|x + 5| = 20$، نحتاج إلى فهم معنى قيمة المطلق. عندما نقول $|x + 5| = 20$، فإننا نبحث عن القيم التي تجعل مقدار التعبير $|x + 5|$ يساوي 20.

يمكن أن يكون $x + 5 = 20$ أو $x + 5 = -20$، لأن قيمة المطلق تعطينا القيمتين الممكنتين للتعبير داخل القوسين.

لحل المعادلة الأولى، نقوم بطرح 5 من الطرفين:
$x = 20 – 5 \Rightarrow x = 15$
لحل المعادلة الثانية، نقوم بطرح 5 من الطرفين:
$x = -20 – 5 \Rightarrow x = -25$

لذا، الحلول للمعادلة هي $x = 15$ و $x = -25$.

الفرق بين هاتين القيمتين هو:
$|15 – (-25)| = |15 + 25| = |40| = 40$
وبما أن السؤال يطلب الفرق الإيجابي بين الحلين، فإن الفرق هو 40.

لحل معادلة $|x + 5| = 20$، نحتاج إلى فهم المفهوم الأساسي لقيمة المطلق وكيفية التعامل معها. قيمة المطلق تُعبر عن المسافة بين نقطة ما على المحور ونقطة الصفر. لذا، عند حل المعادلة، نبحث عن القيم التي تجعل المقدار داخل القوسين يكون مساوياً للقيمة المطلوبة.

لحل المعادلة $|x + 5| = 20$، نستخدم القواعد التالية:

1. قانون مطلق العدد: إذا كان $|x| = a$، فإما $x = a$ أو $x = -a$. هذا يعني أننا نعامل قيمتين ممكنتين لـ $x$.

2. قانون الجمع والطرح: عندما نقوم بجمع أو طرح قيمة من المطلق، يجب علينا تطبيق نفس العملية على الجانب الآخر من المعادلة.

الآن، لحل المعادلة:

1. نبدأ بفك المطلق وحل المعادلتين الناتجتين:

   • للقيمة الإيجابية: $x + 5 = 20$، إذاً $x = 20 – 5 = 15$.
   • للقيمة السالبة: $x + 5 = -20$، إذاً $x = -20 – 5 = -25$.

2. الآن، بما أن المطلق يعبر عن المسافة، فإن الحلول هي القيم التي تبعد عن $-5$ مسافة 20 في كلا الاتجاهين (الموجب والسالب).

3. بعد العثور على الحلول $x = 15$ و $x = -25$، نحتاج إلى حساب الفرق بينهما بحيث نأخذ القيم المطلقة للفارق بينهما.

4. الفرق بين الحلول:
   $|15 – (-25)| = |15 + 25| = |40| = 40$

بالتالي، الفرق الإيجابي بين الحلول هو 40.