حل معادلة الدوال العكسية (مسألة رياضيات)

المطلوب هو حساب القيمة(القيم) التي تُحقق المعادلة $f(x) = f^{-1}(x)$ حيث أن $f(x) = 3x – 8$ و $f^{-1}$ تعبر عن الدالة العكسية لـ $f$. لحل هذه المعادلة، يمكننا استخدام الخاصية التي تقول إنه عندما تكون النقطتين $(a, b)$ و $(b, a)$ على نفس المنحنى، فإنهما يتبادلان مكان بعضهما البعض. بمعنى آخر، إذا كانت $f(x) = y$، فإن $f^{-1}(y) = x$.

لحساب الدالة العكسية $f^{-1}(x)$، يتم استبدال $f(x)$ بـ $y$ وحل المعادلة للعثور على $x$:
$x = 3y – 8$
ثم نقوم بتبديل $y$ بـ $f^{-1}(x)$:
$x = 3f^{-1}(x) – 8$
الآن يمكننا حل المعادلة للعثور على القيمة(القيم) المطلوبة.

قم بإضافة $8$ للطرفين:
$x + 8 = 3f^{-1}(x)$
ثم قسم كلا الطرفين على $3$:
$f^{-1}(x) = \frac{x + 8}{3}$
وبالتالي، نجد الدالة العكسية $f^{-1}(x)$.

الآن، نضع المعادلتين $f(x) = 3x – 8$ و $f^{-1}(x) = \frac{x + 8}{3}$ ونحاول حل المعادلة $f(x) = f^{-1}(x)$:
$3x – 8 = \frac{x + 8}{3}$
ضرب كلا الطرفين بالعدد 3 للتخلص من المقام في الجهة اليمنى:
$9x – 24 = x + 8$
نقل كل المصطلحات التي تحتوي على $x$ إلى الجهة اليسرى وترتيب المصطلحات:
$9x – x = 8 + 24$
$8x = 32$
الآن نقوم بقسمة الطرفين على $8$ للعثور على قيمة $x$:
$x = \frac{32}{8} = 4$

إذاً، القيمة الوحيدة التي تحقق المعادلة $f(x) = f^{-1}(x)$ هي $x = 4$.

لحل المسألة وإيجاد القيمة(القيم) التي تحقق المعادلة $f(x) = f^{-1}(x)$، نستخدم المبدأ الأساسي للدوال العكسية وقوانين الجبر.

1. استخدام الدوال العكسية: يتم استخدام الخاصية الأساسية للدوال العكسية، والتي تقول إنه عندما تكون النقطتين $(a, b)$ و $(b, a)$ على نفس المنحنى، فإنهما يتبادلان مكان بعضهما البعض. هذا يعني أنه إذا كانت $f(x) = y$، فإن $f^{-1}(y) = x$.

2. حساب الدالة العكسية: نحتاج إلى حساب الدالة العكسية لـ $f(x)$، والتي تمثلها $f^{-1}(x)$، وذلك باستبدال $f(x)$ بـ $y$ وحل المعادلة للعثور على $x$، ثم تبديل $y$ بـ $f^{-1}(x)$.

3. حل المعادلة المكافئة: بعد الحصول على الدالة العكسية $f^{-1}(x)$، نضع المعادلتين $f(x)$ و $f^{-1}(x)$ ونحاول حل المعادلة $f(x) = f^{-1}(x)$.

4. تطبيق القوانين الجبرية: نستخدم القوانين الجبرية، مثل خاصية التعويض والتبسيط الجبري، لحل المعادلة والعثور على القيمة(القيم) التي تحقق المسألة.

العملية الكاملة تتضمن تبديل المتغيرات وتطبيق العمليات الجبرية لتوجيه المعادلات إلى حلولها المنطقية. في النهاية، يتم التحقق من الإجابة بإعادة تعويض القيم المعرفة في المعادلة الأصلية للتأكد من صحتها.