حل معادلة الدرجة الرابعة (مسألة رياضيات)

المطلوب هو إيجاد جميع قيم $z$ التي تجعل المعادلة $z^4 – 4z^2 + X = 0$ صحيحة. لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام الحلول المعطاة للمعادلة لتحديد قيمة المتغير $X$.

نبدأ بتحليل المعادلة المعطاة:
$z^4 – 4z^2 + X = 0$

نلاحظ أن هذه المعادلة هي معادلة من الدرجة الرابعة في المتغير $z$. لحلها، يمكننا استخدام تعويض مؤشر للحد المناسب. لنقم بتعويض $y = z^2$، لتصبح المعادلة بالشكل التالي:
$y^2 – 4y + X = 0$

الآن يمكننا حل هذه المعادلة كمعادلة من الدرجة الثانية. باستخدام الصيغة العامة لحل المعادلة من الدرجة الثانية:
$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$، $b = -4$، و $c = X$.

نقوم بحساب الجذر التربيعي للمعادلة التالية:
$b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4 \times 1 \times X = 16 – 4X$

بما أننا نعلم أن الحلول هي $-\sqrt{3}, -1, 1, \sqrt{3}$، يمكننا استخدام هذه القيم لتحديد $X$.

1. عندما $y = -\sqrt{3}$:
   $-\sqrt{3} = \frac{-(-4) – \sqrt{16 – 4X}}{2}$
   $-\sqrt{3} = \frac{4 – \sqrt{16 – 4X}}{2}$
   $-2\sqrt{3} = 4 – \sqrt{16 – 4X}$
   $-4\sqrt{3} = – \sqrt{16 – 4X}$
   $16 – 4X = 48$
   $X = -8$

2. عندما $y = -1$:
   $-1 = \frac{-(-4) – \sqrt{16 – 4X}}{2}$
   $-1 = \frac{4 – \sqrt{16 – 4X}}{2}$
   $-2 = 4 – \sqrt{16 – 4X}$
   $-6 = – \sqrt{16 – 4X}$
   $16 – 4X = 36$
   $X = -5$

3. عندما $y = 1$:
   $1 = \frac{-(-4) – \sqrt{16 – 4X}}{2}$
   $1 = \frac{4 – \sqrt{16 – 4X}}{2}$
   $2 = 4 – \sqrt{16 – 4X}$
   $-2 = – \sqrt{16 – 4X}$
   $16 – 4X = 4$
   $X = 3$

4. عندما $y = \sqrt{3}$:
   $\sqrt{3} = \frac{-(-4) – \sqrt{16 – 4X}}{2}$
   $\sqrt{3} = \frac{4 – \sqrt{16 – 4X}}{2}$
   $2\sqrt{3} = 4 – \sqrt{16 – 4X}$
   $8 = 16 – 4X$
   $X = 2$

القيم الممكنة للمتغير $X$ هي $-8, -5, 3, 2$.

لحل المسألة وإيجاد قيمة المتغير $X$ في المعادلة $z^4 – 4z^2 + X = 0$، نستخدم القوانين والمفاهيم التالية:

1. الجذور التربيعية: نستخدم الخاصية التي تقول إذا كانت $a$ جذرًا لمعادلة ما، فإن $a^2$ يكون حلاً لمعادلة جديدة تحتوي على نفس العلاقة.

2. معادلة الدرجة الثانية: نستخدم صيغة حل المعادلة الثانية عند تمثيل المعادلة $y^2 – 4y + X = 0$ على شكل معادلة من الدرجة الثانية.

3. قوانين الجذور التربيعية: نستخدم خواص الجذور التربيعية لتحديد القيم الممكنة للمتغير $X$.

الآن، نقوم بخطوات الحل بالتفصيل:

1. نفرض أن $y = z^2$، لذا المعادلة تصبح $y^2 – 4y + X = 0$.

2. نحل المعادلة الجديدة كمعادلة من الدرجة الثانية باستخدام الصيغة العامة لحل المعادلات من هذا النوع:
   $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$
   حيث $a = 1$، $b = -4$، و $c = X$.

3. نحسب قيمة $b^2 – 4ac$ للمعرفة إن كانت الجذور حقيقية أو معقدة.

4. استنتجنا القيم الممكنة للمتغير $X$ من الجذور التي أعطيت في السؤال، والتي هي $-\sqrt{3}, -1, 1, \sqrt{3}$.

5. باستخدام القيم المعطاة للجذور، نوجد القيم المقابلة لكل قيمة منها للمتغير $X$.

6. نحلل القيم المعطاة للتأكد من صحتها ومطابقتها للمسألة.

بهذه الطريقة، نحلل المعادلة ونحسب القيم بدقة لضمان الحل الصحيح للمسألة الرياضية المطروحة.