حل معادلات لوغاريتمية وأسسية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية المعطاة هي حل لمعادلة لوغاريتمية، وتتمثل في العثور على قيمة متغير معين تحت تأثير لوغاريتمات معينة. الهدف هو إيجاد قيمة للمتغير الغير معروف في العبارة المعطاة.

نعطي المعادلة كاملة:
$\log_{10x^2} X + \log_{100x^3} 10 = -2.$

للبدء، نستخدم خاصية اللوغاريتمات:
$\log_a (b) + \log_a (c) = \log_a (bc).$

تطبيق هذه الخاصية على المعادلة المعطاة يعطينا:
$\log_{10x^2} (X \cdot 10) = -2.$

والآن، نحاول التخلص من اللوغاريتمات، لذا نقوم بتحويل المعادلة إلى شكل قوى:
$10^{-2} = X \cdot 10 \cdot 10x^2.$

الآن، نبسط الأسس:
$10^{-2} = X \cdot 10^3x^2.$

نقارن الآن معاملات الأسيتينت:
$X \cdot 10^3x^2 = 10^{-2}.$

الآن، نبسط التعبير عن طريق ضرب الأسس:
$X \cdot 10^3 \cdot x^2 = \frac{1}{100}.$

نرى أننا نريد العثور على قيمة $X$ تجعل المعادلة صحيحة. بالنظر إلى السؤال، نعلم أن الحل $X$ الأكبر هو 10000000، والذي يعني:
$10000000 \cdot 10^3 \cdot x^2 = \frac{1}{100}.$

الآن، نحن نريد حساب قيمة $x$ التي تحقق هذا الحل. نقوم بتقسيم الطرف اليميني والطرف الأيسر للمعادلة على $10000000 \cdot 10^3$ للحصول على قيمة $x^2$:
$x^2 = \frac{1}{10000000 \cdot 10^3}.$

الآن، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين للحصول على قيمة $x$:
$x = \sqrt{\frac{1}{10000000 \cdot 10^3}}.$

بعد الحساب، سنجد أن $x$ يساوي $10^{-7}$.

الآن، وفقاً للسؤال الأصلي، يطلب منا حساب قيمة $\frac{1}{x^{12}}$. نعرف أن $x = 10^{-7}$، لذا:
$\frac{1}{x^{12}} = \frac{1}{(10^{-7})^{12}} = \frac{1}{10^{-84}}.$

وباستخدام القاعدة التي تقول أن $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$، نحصل على:
$\frac{1}{x^{12}} = 10^{84}.$

بالتالي، القيمة المطلوبة هي 10 مرفوعة للقوة 84، والتي تساوي 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 في التمثيل العشري.

لحل المسألة المعطاة، سنستخدم القوانين والمفاهيم الأساسية في الجبر واللوغاريتمات. هذه القوانين تشمل:

1. قوانين اللوغاريتمات:

   • $\log_a (mn) = \log_a (m) + \log_a (n)$
   • $\log_a (m^n) = n \cdot \log_a (m)$
   • $\log_a (1) = 0$
   • $\log_a (a) = 1$

2. خاصية تحويل اللوغاريتمات إلى قوى:

   • إذا كان $\log_a (b) = c$، فإن $a^c = b$.

3. قوانين الأسس:

   • $a^0 = 1$
   • $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
   • $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$

الآن، سنبدأ الحل:

1. نستخدم قاعدة خاصة باللوغاريتمات لدمج اللوغاريتمات الموجودة في المعادلة.
2. نستخدم خاصية تحويل اللوغاريتمات إلى قوى لتبسيط المعادلة.
3. نستخدم القوانين الأساسية للأسس لتبسيط المعادلة الناتجة.
4. نحل المعادلة للعثور على القيمة المطلوبة.

هذه الخطوات تتطلب دقة في الحسابات والتبسيط. يجب أن نتأكد من إجراء العمليات بدقة لتجنب الأخطاء. في النهاية، يجب التحقق من الحل لضمان صحته واتباعه للشروط المطلوبة.

باستخدام هذه القوانين والخطوات، يمكننا حل المعادلات اللوغاريتمية والرياضية بشكل دقيق وموثوق.