حل معادلات ثنائية بالجبر (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
لنفترض أن $x$ قيمة معروفة بحيث $8x^2 + 7x – X = 0$ و $24x^2+53x-7 = 0.$ ما قيمة $x$؟ اعبر عن إجابتك بكسر مبسط.
إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال السابق هي $\frac{1}{8}$، ما قيمة المتغير المجهول $X$؟

الحل:
لنحل المعادلتين التي تمثلان العلاقات المعطاة:

للمعادلة الأولى: $8x^2 + 7x – X = 0$

للمعادلة الثانية: $24x^2+53x-7 = 0$

لحل المعادلة الأولى، سنستخدم الصيغة العامة لحل المعادلة من الدرجة الثانية: $ax^2 + bx + c = 0$

حيث $a = 8$، $b = 7$، و $c = -X$.

نستخدم الصيغة التالية لحل المعادلة:
$x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$

باستخدام القيم المعطاة:
$x = \frac{{-7 \pm \sqrt{{7^2 – 4 \cdot 8 \cdot (-X)}}}}{{2 \cdot 8}}$

للمعادلة الثانية، نستخدم نفس العملية:
$a = 24$، $b = 53$، و $c = -7$.

$x = \frac{{-53 \pm \sqrt{{53^2 – 4 \cdot 24 \cdot (-7)}}}}{{2 \cdot 24}}$

الآن، وقد علمنا أن قيمة $x$ هي $\frac{1}{8}$، نستخدم هذه المعلومة لحساب قيمة $X$.

نعوض $x = \frac{1}{8}$ في المعادلة الأولى:
$8 \left( \frac{1}{8} \right)^2 + 7 \left( \frac{1}{8} \right) – X = 0$
$1 + \frac{7}{8} – X = 0$
$1 + \frac{7}{8} – X = 0$
$\frac{15}{8} – X = 0$
$X = \frac{15}{8}$

الآن، لنعوض $x = \frac{1}{8}$ في المعادلة الثانية:
$24 \left( \frac{1}{8} \right)^2 + 53 \left( \frac{1}{8} \right) – 7 = 0$
$24 \cdot \frac{1}{64} + \frac{53}{8} – 7 = 0$
$\frac{24}{64} + \frac{53}{8} – 7 = 0$
$\frac{3}{8} + \frac{53}{8} – 7 = 0$
$\frac{3 + 53 – 56}{8} = 0$
$\frac{0}{8} = 0$

نرى أن القيمة $\frac{1}{8}$ تحقق المعادلة الثانية.

إذاً، قيمة المتغير $X$ هي $\frac{15}{8}$.

في هذه المسألة، نواجه نظامًا من المعادلات الخطية الثنائية. الهدف من الحل هو إيجاد قيمة المتغيرات $x$ و $X$ التي تحقق كلتا المعادلتين المعطاة. لتحقيق ذلك، سنستخدم عدة خطوات وقوانين من الجبر والحساب التحليلي.

1. حل المعادلات الثنائية:
   نستخدم صيغة حل المعادلة الثنائية:
   $x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$
   حيث $a$, $b$, و $c$ هي معاملات المعادلة الثنائية $ax^2 + bx + c = 0$.

2. استخدام القيم المعروفة:
   بمعرفة قيمة $x$، يمكننا استخدامها في المعادلة الأولى لحساب قيمة $X$.

3. التبسيط الجبري:
   نحلل المعادلات ونقوم بالتبسيط الجبري للحصول على النتائج النهائية.

الخطوات التفصيلية للحل كالتالي:

للمعادلة الأولى: $8x^2 + 7x – X = 0$

• نستخدم الصيغة العامة لحل المعادلة الثنائية للحصول على قيمة $x$.
• بعد الحصول على قيمة $x$، نستخدمها في المعادلة لحساب قيمة $X$.

للمعادلة الثانية: $24x^2+53x-7 = 0$

• نستخدم نفس العملية لحل المعادلة والعثور على قيمة $x$.

بعد حساب القيم المطلوبة، نتحقق من صحة الحل بتجربة قيمة $x$ في المعادلتين.

باختصار، يعتمد الحل على قوانين الجبر والحساب التحليلي لحل المعادلات الثنائية، مع استخدام القيم المعروفة للحسابات والتبسيط الجبري للوصول إلى الحل النهائي.