حل معادلات تربيعية لأعداد مركبة (مسألة رياضيات)

إذا كان $(a – bi)^2 = 8 – 6i$، حيث أن $a$ و $b$ عددين صحيحين موجبين، فما هي قيمة $a – bi$؟

لحل هذه المسألة، سنبدأ بفك المعادلة. يُعرف الضرب التربيعي للعدد المركب $a – bi$ كالتالي:

حيث أن $i^2 = -1$.

نستخدم هذا التعريف لفك المعادلة التي تعطينا:

من المعادلة المعطاة، لدينا $(a – bi)^2 = 8 – 6i$، لذا يمكننا كتابة المعادلة كما يلي:

باستخدام $i^2 = -1$، نستبدلها في المعادلة:

الآن، نقارن الأجزاء الحقيقية والخيالية في كلا الجانبين من المعادلة.

1. المكونات الحقيقية:
   $a^2 – b^2 = 8$

2. المكونات الخيالية:
   $-2ab = -6$

الآن، لنحل هذا النظام من المعادلات. نستخدم المعادلة الثانية لحل $a$ أو $b$، ومن ثم نستخدم القيمة المعروفة لحل القيمة المتبقية.

لذا، نحل المعادلة الثانية للعثور على $a$ بالتالي:
$a = \frac{-6}{-2b} = \frac{3}{b}$

نضع هذه القيمة في المعادلة الأولى:
$\left(\frac{3}{b}\right)^2 – b^2 = 8$
$9 – b^4 = 8b^2$
$b^4 + 8b^2 – 9 = 0$

الآن، هذه معادلة رباعية في $b^2$، يمكن حلها باستخدام طريقة التعويض. نفترض $x = b^2$، فنحصل على:

$x^2 + 8x – 9 = 0$

ونحل هذه المعادلة ذات القوى الثانية. باستخدام الصيغة العامة لحل المعادلة ذات القوى الثانية $ax^2 + bx + c = 0$، نستخدم الصيغة:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث أن $a = 1$، $b = 8$، و $c = -9$.

باستخدام القيم في الصيغة، نحصل على:

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1}$
$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$
$x = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2}$
$x = \frac{-8 \pm 10}{2}$

بالتالي، نحصل على حلين ل $x$:

$x_1 = \frac{-8 + 10}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-8 – 10}{2} = -9$

نلاحظ أنه يجب أن تكون قيمة $b^2$ إيجابية، لذا نختار القيمة الموجبة $x = 1$.

إذاً:
$b^2 = 1 \Rightarrow b = 1$

ومنها نجد قيمة $a$:
$a = \frac{3}{b} = 3$

بالتالي، قيمة $a – bi$ هي:
$a – bi = 3 – 1i$

لحل المسألة التي تتعلق بالعثور على قيمة $(a – bi)$ عن طريق معرفة قيم $(a)$ و$(b)$ في المعادلة $(a – bi)^2 = 8 – 6i$، نحتاج إلى العديد من الخطوات واستخدام عدة قوانين في الجبر وحساب الأعداد الخيالية. إليك الخطوات التفصيلية للحل:

1. فك المعادلة التربيعية للعدد المركب:
   يتم استخدام قاعدة التربيع لفك معادلة $(a – bi)^2$ إلى عبارة بسيطة تحتوي على أجزاء حقيقية وخيالية.

2. مقارنة الأجزاء الحقيقية والخيالية:
   بعد فك المعادلة، يتم مقارنة الأجزاء الحقيقية والخيالية في كلا الجانبين للعثور على العلاقات بين $(a)$ و $(b)$.

3. حل النظام من المعادلات:
   يتم استخدام العلاقات التي تم العثور عليها في الخطوة السابقة لحل النظام من المعادلات. في هذه الحالة، نستخدم معادلات لحساب قيم $(a)$ و $(b)$.

4. تحديد القيم المناسبة:
   بعد حل النظام من المعادلات، نحصل على عدة حلول محتملة. يجب التحقق من الحلول لضمان أنها تتناسب مع الشروط الموضوعة في المسألة.

5. التحقق من الحلول:
   يجب التحقق من الحلول المعطاة للتأكد من صحتها ومطابقتها للمعادلة الأصلية.

القوانين والمفاهيم المستخدمة في هذا الحل تتضمن:

• ضرب الأعداد المركبة.
• قاعدة التربيع.
• المعادلات التربيعية.
• التعويض وحل النظام من المعادلات.

تلك الخطوات والقوانين هي الأساس في حل معظم المسائل الرياضية التي تتعلق بالأعداد المركبة والتربيعات. تتطلب هذه المسائل فهمًا جيدًا للجبر والأعداد الخيالية والطرق المناسبة لحل المعادلات التربيعية والنظم من المعادلات.