حل معادلات السجلات بالقواعد الأساسية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

حل المعادلة التالية لـ $x$ :
$\log_2 x + \log_4 x = 6$

الحل:

لنبدأ بتبسيط المعادلة. لاحظ أننا يمكننا استخدام قاعدة التغير القاعدي للسجلات لتبسيط معادلة $\log_4 x$. علماً بأن $\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4}$ وأن $\log_2 4 = 2$، نحصل على:

$\log_2 x + \frac{\log_2 x}{2} = 6$

الآن نجمع السجلات، ونلاحظ أن لدينا نفس القاعدة في الجمع:

$\frac{3\log_2 x}{2} = 6$

ثم نضرب الطرفين في $\frac{2}{3}$ للتخلص من الكسر:

$\log_2 x = \frac{12}{3} = 4$

الآن نستخدم تعريف السجلات لتحويل المعادلة إلى شكل عادي:

$x = 2^4 = 16$

إذاً، القيمة المطلوبة لـ $x$ هي $16$.

طبعًا، دعنا نقوم بتفاصيل أكثر حول حل المعادلة $\log_2 x + \log_4 x = 6$.

أولاً، لنتذكر بعض القوانين والمفاهيم المهمة في السجلات:

1. قاعدة ضرب السجلات: $\log_a (mn) = \log_a m + \log_a n$.
2. قاعدة القسمة للسجلات: $\log_a \left(\frac{m}{n}\right) = \log_a m – \log_a n$.
3. تعريف السجلات بالقوة: $\log_a x = y$ تعني أن $a^y = x$.

الآن، دعنا نعود إلى المعادلة الأصلية:

$\log_2 x + \log_4 x = 6$

لنقم بتطبيق قاعدة التغيير القاعدي للسجلات لتحويل $\log_4 x$ إلى سجل قاعدي 2. للقيام بذلك، سنستخدم حقيقة أن $\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4}$.

لكن قبل ذلك، يجب علينا التأكد من قيمة $\log_2 4$. نعرف أن $\log_2 4$ هو القوة التي نرفع 2 إليها للحصول على 4، وهو يساوي 2.

الآن، بعد تبسيط المعادلة، نحصل على:

$\log_2 x + \frac{\log_2 x}{2} = 6$

لاحظ أننا استبدلنا $\log_4 x$ بـ $\frac{\log_2 x}{2}$ بموجب التعريف السابق. الآن، نجمع السجلات مع نفس القاعدة:

$\frac{3\log_2 x}{2} = 6$

ثم نقوم بضرب الطرفين في $\frac{2}{3}$ للتخلص من الكسر:

$\log_2 x = \frac{12}{3} = 4$

وهنا نستخدم تعريف السجلات للحصول على قيمة $x$ بمعرفة أن $\log_2 x = 4$ يعني $x = 2^4 = 16$.

إذاً، الحل النهائي هو $x = 16$.