حل معادلات الجذور الرياضية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
تحديد أكبر قيمة ممكنة للمتغير $x$ التي ترضي المعادلة $\sqrt{2x} = 4x$، وتعبر عن إجابتك بأبسط صورة كسرية.

حل المسألة:
لحل هذه المعادلة، نبدأ برفع الجانبين للتربيع للتخلص من الجذر والحصول على معادلة أكثر تسهيلًا للحساب. لذلك، نقوم برفع كلا الجانبين للتربيع:

$(\sqrt{2x})^2 = (4x)^2$

هذا يعطينا:

$2x = 16x^2$

الآن، نقوم بترتيب المعادلة للوصول إلى معادلة من الدرجة الثانية:

$16x^2 – 2x = 0$

والآن يمكننا محاولة حل المعادلة بطريقة تجزئة العوامل، نقوم بعامل مشترك للعوامل:

$2x(8x – 1) = 0$

وبذلك نحصل على حلول للمعادلة، وهي:

1. $2x = 0$ ، ومنها $x = 0$.
2. $8x – 1 = 0$ ، ومنها $x = \frac{1}{8}$.

الآن، نراجع شرط المسألة الذي يطلب أكبر قيمة لـ $x$ التي ترضي المعادلة. نلاحظ أنه بالنظر إلى القيم المحتملة، القيمة $x = \frac{1}{8}$ هي الأكبر، لأنها تمثل كسرًا يقع بين الصفر وواحد، لكنه أقرب إلى الصفر وبالتالي أكبر منه. إذاً، القيمة المطلوبة لـ $x$ هي $\frac{1}{8}$ ، وهي الإجابة المطلوبة.

لحل المسألة المذكورة، نحن بحاجة إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم الرياضية. الهدف الرئيسي هو حل المعادلة الأصلية $\sqrt{2x} = 4x$ وتحديد أكبر قيمة ممكنة لـ $x$ التي ترضي هذه المعادلة.

1. ترتيب المعادلة:
   نبدأ برفع كلا الجانبين للتربيع للتخلص من الجذر، مما يعطينا معادلة جديدة تسهل عملية الحساب.

2. قانون التربيع:
   نستخدم قانون التربيع للقضاء على الجذر والحصول على معادلة أكثر تسهيلًا.

3. الحلول الجذرية:
   بعد ترتيب المعادلة، نبحث عن الحلول الجذرية باستخدام طرق العوامل المشتركة.

4. اختبار الحلول:
   نقوم بتجربة الحلول للتأكد من صحتها ومطابقتها لشرط المسألة.

5. تحديد أكبر قيمة ممكنة:
   بعد الحصول على الحلول، نقارن بينها لتحديد أكبر قيمة ممكنة لـ $x$ والتي تلبي المعادلة الأصلية.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، نستطيع حل المسألة بشكل كامل والتوصل إلى الإجابة الصحيحة. يُلاحظ أن الخطوات الرياضية المتبعة تساعد في فهم المسألة والوصول إلى الحل بدقة ودون أخطاء.